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Mediatrices que pasan por un punto fijo
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $P,Q$ puntos sobre $AB$ y $AC$ respectivamente, tal que $AP = CQ$. Demostrar que la mediatriz de $PQ$ pasa por un punto fijo al variar $P$.
XXVIII OMM --resultados para Tamaulipas
Germán 27 plata (corte en 35)
Alain 21 bronce
José Luis 16 bronce
Jesús 13 mención
El corte para los oros en 35 significa --leyendo entre líneas-- que el examen estuvo relativamente fácil. Y también que aún si Germán hubiera resuelto el 2 (con lo cual habría obtenido 33 puntos) de cualquier manera el oro le quedaba a 2 puntos de distancia.
![](https://www.matetam.com/sites/default/files/imagecache/teaser/puntajestam.jpg)
Examen de la XXVIII OMM. Segundo día.
A continuación el examen del segundo día de la XVIII Olimpiada Mexicana de Matemáticas que se está aplicando a los concursantes el día de hoy en Toluca.
Problema 4 de la XXVIII OMM Segundo Día. Toluca 2014
Problema 5 de la XXVIII OMM Segundo Día. Toluca 2014
Problema 6 de la XXVIII OMM Segundo Día. Toluca 2014
XXVIII OMM Problema 6
Para cada entero positivo $n$, sea $d(n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$. Por ejemplo, los divisores positivos de 6 son 1, 2, 3 y 6, por lo que $d(6)=4$.
Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que
$$n+d(n)=d(n)^2$$.
XXVIII OMM Problema 5
Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=3$. Muestra que $$\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}} \geq \frac{3}{2}$$.
XXVIII OMM Problema 4
Sea $ABCD$ un rectángulo con diagonales $AC$ y $BD$. Sean $E$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo $\angle CAD$ con el segmento $CD$, $F$ el punto sobre el segmento $CD$ tal que $E$ es el punto medio de $DF$ y $G$ el punto sobre la recta $BC$ tal que $BG=AC$ (con $C$ entre $B$ y $G$).
Muestra que la circunferencia que pasa por $D$, $F$ y $G$ es tangente a $BG$.
Examen de la XXVIII OMM. Primer día.
Hoy se aplicó el examen del primer día de la XVIII Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Aquí una foto de la selección Tamaulipas 2014.
A continuación los 3 problemas, comenta o deja tu solución en la página de cada problema:
![](https://www.matetam.com/sites/default/files/imagecache/teaser/u1images/10155541_10152825288784513_7899234630239035649_n%5B1%5D.jpg)
XXVIII OMM Problema 3
Sean $\Gamma_{1}$ una circunferencia y $P$ un punto fuera de $\Gamma_{1}$. Las tangentes desde $P$ a $\Gamma_{1}$ tocan la circunferencia en los puntos $A$ y $B$. Considera $M$ el punto medio del segmento $PA$ y $\Gamma_{2}$ la circunferencia que pasa por los puntos $P$, $A$ y $B$. La recta $BM$ interesecta de nuevo a $\Gamma_{2}$ en el punto $C$, la recta $CA$ intersecta de nuevo a $\Gamma_{1}$ en el punto $D$, el segmento $DB$ intersecta de nuevo a $\Gamma_{2}$ en el punto $E$ y la recta $PE$ intersecta a $\Gamma_{1}$ en el punto F (con E entre P y F). Muestra que las rectas $AF$, $BP$ y $CE$ concurren.
Reducción de números
Un entero positivo $a$ se reduce a un entero positivo $b$, si al dividir $a$ entre su dígito de las unidades se obtiene $b$. Por ejemplo, 2015 se reduce a $\frac{2015}{5}=403$. Encuentra todos los enteros positivos que, mediante algunas reducciones, llegan al número 1. Por ejemplo, el número 12 es uno de tales enteros pues 12 se reduce a 6 y 6 se reduce a 1.
Coloración en números del 1 al 4027
Cada uno de los números del 1 al 4027 se ha coloreado de verde o de rojo. Cambiar el color de un número es pasarlo a verde si era rojo, y pasarlo a rojo si era verde.
Diremos que dos enteros positivos $m$ y $n$ son cuates si alguno de los números $\frac{m}{n}$ o $\frac{n}{m}$ es un número primo. Un paso consiste en elegir dos números que sean cuates y cambiar el color de cada uno de los números.
Muestra que después de realizar algunos pasos es posible hacer que todos los números del 1 al 2014 sean verdes.
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