Problema 8

Denotemos como  $x$ y $y$ a los primeros dos términos de la sucesión.

La sucesión quedará como sigue:

$x$ , $y$ , $x+y$ , $x+2y$ , $2x+3y$, $3x+5y$ 

Y con los datos del problema obtenemos las siguientes igualdades:

$4x=3x+5y$ 

$x+y+(x+y)+(x+2y)+(2x+3y)+(3x+5y)= 8x+12y= 13$

Utilizando un despeje en la primera igualdad llegamos a que $x=5y$ y con ellos procedemos a convertir la ecuación de dos incógnitas de la segunda igualdad a una ecuación de solo una incógnita 

$8x+12y=8(5y)+12y=40y+12y=52y=13$ de donde $y=\frac{1}{4}$

Ahora que conocemos el valor de $y$ obtengamos el valor de $x$

$8x+12y=8x+12(\frac{1}{4})=8x+3=13$

De lo anterior sabemos que $8x=10$ y por lo tanto $x=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$

Sabiendo el valor de las incógnitas sustituimos los valores y tendremos los valores reales en la sucesión:

$\frac{5}{4}+\frac{1}{4}+\frac{6}{4}+\frac{7}{4}+\frac{13}{4}+\frac{20}{4}$ cuya suma es $\frac{52}{4}=13$ con lo que se cumple la primera condición. 

Verifiquemos que se cumpla la segunda:

$4 \times \frac{5}{4}= \frac{20}{4}$ Sí, se cumple la segunda condición.

Habiendo comprobado que se cumplen todas las condiciones podemos afirmar que la respuesta al problema, es decir, el primer término de la sucesión es $\frac{5}{4}$.

Muy padre solución, lo curioso de este problema es que por talacha también salía sin dificultad, solo teniendo cuidado de no confundirte en las sumas