Problema 7

Sumamos como fracciones los términos en el primer miembro de la ecuación y queda $(7a+5b)/35 = 31/35$ . Luego mutiplicamos ambos lados de la ecuación por 35 resultando en $7a+5b = 31$ . Usando aritmética modular en $\pmod{7}$ , nos queda $7a+5b \equiv 5b \pmod{7}$ y como $31 \equiv 3 \pmod{7}$ luego por la igualdad anterior $5b \equiv 3 \pmod {7}$ , y multiplicando por el inverso en $\pmod{7}$ de 5, que es 3, $15b \equiv 9 \equiv b \equiv 2 \pmod{7}$. Luego $b = 7k+2$ , con $k$ entero no negativo. Vemos que como $a,b$ son enteros positivos, $a \geq 1$, entonces $5b \leq 31-7 = 24$ , $b \leq 24/5 < 5$  . Si $k = 0$, $b = 7(0)+2 = 2$, y sustituyendo en $7a+5b = 31$, $7a+5(2) =31$ , $7a+10 = 31$, $7a=31-10=21$, despejamos, $a = 21/7 = 3$, por lo que la pareja $a=3 , b=2$ cumple. Si $k \geq 1$ , $b \geq 7+2=9$, lo cual no es posible pues $b < 5$ . Luego los únicos de valors de $a$ y $b$ enteros positivos que cumplen la ecuación son $a=3 , b=2$