Problema 5

Interpretamos los datos clave por clave.

• La clave 1 nos dice que el número es de la forma $abccba$ (con $a,b,c$ dígitos) pues se lee igual en ambos sentidos.
• La clave 2 nos dice que el número es múltiplo de 9; aplicando el criterio de divisibilidad del 9, sus dígitos deben ser también un múltiplo de 9, de donde $a+b+c+c+b+a = 2(a+b+c) = 9k$ 
• La clave 3 dice que al eliminar los dígitos extremos el número es múltiplo de 11 y solamente de 11, lo cual implica que el número sin los dígitos extremos es, al ser solamente múltiplo de 11, una potencia de 11. Es decir $bcbc = 11^{x}$ . 

Por inspección, vemos las potencias de 11: $11^{1} = 11$ , $11^{2} = 121$ , $11^{3} = 1331$, $11^{4} = 14641$, y de aquí notamos que, como obviamente las siguientes potencias de 11 darán números de más dígitos, el único número que es potencia de 11 de 4 dígitos es $11^{3} = 1331$ , de donde se deduce que como $bcbc = 11^{3} = 1331$ , luego $b = 1$ y $c=3$ . Sustituyendo estos valores en la información anterior de la clave 2 y 1, $2(a+b+c) = 2(a+1+3) = 2(a+4) = 2a+8 =9k$ . Vemos que si $k=0 , 2a = -8$, lo cual es un absurdo pues $a,b,c$ son dígitos entre 0 y 9. Si $k=1 , 2a+8 = 9 a = 1/2$ lo cual nuevamente es un absurdo. Para $k=2 , 2a+8 = 18, a = 5$, lo cual si es posible. Para $k>2$ , $a$ es mayor a 9, con lo cual ya no es un dígito, y de aquí se afirma que $a=5$, y finalmente el número secreto de Ana es $abccba = 513315$