Publicaciones Recientes
Problema 1
Xavier tiene el mismo número de hermanas que de hermanos. Su hermana Yara tiene el doble de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hermanos y cuántas hermanas hay en esta familia?
Un problema viral
Es bastante inusual que un problema de matemáticas de concurso llegue a la prensa diaria. Por ello es que me sorprendió que haya aparecido en El Universal el siguiente problema de matemáticas (aunque más bien es de lógica) en estos días de abril de 2015. (La nota decía, además, que el problema es de una olimpiada de Singapur --creo-- para niños de 14 años y se había vuelto viral en la WWW.)
Uno de si y solo si, con reflexión
Sea $H$ el ortocentro y $G$ el gravicentro del triángulo acutángulo $\triangle ABC,$ con $ AB \neq AC.$ La linea $AG$ intersecta al circuncirculo de $\triangle ABC$ en $A$ y en $P$. Sea $P'$ la reflexión de $P$ en la línea $BC.$ Demuestra que $\angle CAB = 60°$ si y solo si $HG = GP'.$
Partición en m parejas
Sean m y n enteros positivos con m > 1. Anastasia particiona el conjunto de enteros $1,2,\dots,2m$ en m parejas. Luego Boris escoje un entero de cada pareja y suma los enteros escogidos. Demuestra que Anastasia puede elegir las parejas de manera que Boris no pueda hacer que su suma sea igual a n.
Suma de cualesquiera dos consecutivos, cuadrado
Determina si existe una sucesión infinita $a_1,a_2,\dots$ de enteros positivos que satisface la igualdad $$a_{n+2} = a_{n+1} + \sqrt{a_{n+1} + a_n}$$ para todo entero positivo n.
Máximo común divisor menor a n
Sean n y m enteros mayores a 1, y sean $a_1,a_2,\dots,a_m$ enteros positivos menores o iguales a $n^m$. Demuestra que existen enteros positivos $b_1,b_2,\dots,b_m$ menores o iguales a n, tales que $$ mcd( a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_m+b_m) < n,$$ donde $mcd(x_1,x_2,\dots,x_m)$ denota el máximo común divisor de $x_1,x_2,\dots,x_m$.
Fichas de dominó en un tablero de ajedrez
Una ficha de dominó es de $2\times 1$ o de $1\times 2$ cuadrados unitarios. Determina de cuántas maneras distintas se pueden acomodar exactamente $n^2$ fichas de dominó en un tablero de ajedrez de tamaño $2n\times 2n$ de forma que cualquier cuadrado de $2\times 2$ contiene al menos dos cuadrados unitarios sin cubrir que están en la misma fila o en la misma columna.
El primero de la EGMO
Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, y sea $D$ el pie de la altura trazada desde $C$. La bisectriz de $\angle ABC$ intersecta a $CD$ en $E$ y vuelve a intersectar al circuncírculo $\omega$ de $\triangle ADE$ en $F$. Si $\angle ADF = 45°$, muestra que $CF$ es tangente a $\omega$.
Trapecio Isósceles circunscrito a una circunferencia
Un trapecio Isósceles ABCD esta circunscrito a una circunferencia, sus bases miden 4mts y 9mts. Hallar el área del trapecio.
Identidad notabilísima --y su determinante
Me he encontrado en estos días con la notabilísima identidad algebraica (para a,b,c reales):
$$abc+(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
Su rasgo distintivo radica --creo-- en que el lado derecho refleja el izquierdo pero intercambiando la suma por el producto y éste por aquélla. Es decir, lo que en el lado izquierdo es producto en el derecho es suma y la suma en el izquierdo es producto en el derecho.
