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Programa de entrenamientos indeciso...
Pero por lo pronto resuelvan los problemas del documento adjunto. Son 23 problemas básicos. Esperaría que no representen ningún reto para los primeros 10 lugares de la preselección (pero de cualquier manera resuélvanlos para que puedan ayudar a los restantes vía MaTeTaM).
Problema 6(C)
¿Cuántas ordenaciones (permutaciones) de las letras $A,B,C,D,E,F,G$ no contienen los subórdenes $BGE$ ni $EAF$? Ejemplo: $ABCDEFG$ no contiene ninguno, pero $CBGEAFD$ tiene los dos.
Problema de Cíclicos (mi primera invención)
Sea $ ABC $ un triángulo con incentro $I$ y $AB$ menor que $AC$. Sean $D,E,F$ los puntos de tangencia del incírculo con los lados $BC,CA, AB$, respectivamente. Sean $ H $ la intersección de $BI$ con $EF$, y $G$ la intersección de $CI$ con $EF.$
a) Demostrar que $I$ es el incentro del triángulo $DGH.$
b) Demostrar que las rectas $BG$ y $CH$ concurren sobre la perpendicular a $ BC $ que pasa por $D.$
Problema 8(G)
En un triángulo $ ABC $, el ángulo $ A $ mide el doble que el $ C $. Se traza la mediana $BD$ al lado $CA$ ($D$ es punto medio de $ CA $). Si el ángulo $ DBC $ es igual al ángulo en $ A $, calcular las medidas de los ángulos del triángulo $ ABC $.
Blanchet Theorem
En un triangulo $ABC $ donde $AD$ es la altura ($D$ sobre $ BC$)sea $P$ cualquier punto sobre $AD$, Y sean $E,F$las intercecciones de $BP,CP$ con $AC,AB$ respectivamente. Entonces se cumple que $AD$ es la bisectriz del angulo $EDF$
The Eyeball Theorem
Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de centros $A,B$, respectivamente. Desde $A$ se trazan las tangentes a $AR,AS$ con $R,S$ los puntos de tangencia, ademas estas rectas cortan a $C_1$ en $C,D$. De la misma forma se trazan las tangentes $BP,BQ$ a $C_1$ con $P,Q$ los puntos de tangencia, estas mismas cortan a $C_2$ en $E,F$, respectivamente. Entonces $EF=CD$
Problema 3(C)
Demostrar que en veinte números naturales hay al menos dos cuya diferencia es un múltiplo de 19.
Problema 7(A)
Una cuadrilla de jardineros recortó el pasto de dos prados, uno de doble área que el otro. Durante media jornada toda la cuadrilla trabajó en el prado grande; después de la comida, la mitad trabajó en el prado grande y la otra en el pequeño.
Problema 4(G)
Sea ABCD un trapecio con AB parelelo a CD y S la interseccion de sus diagonales. Demostrar: a)ASD y BSC tienen la misma area. b) S es punto medio del segmento paralelo a las bases, que pasa por S y con extremos en los lados del trapecio.
Problema 2(A)
Un equipo de pasteleros está compuesto por el viejo panadero y 9 estudiantes. Un cierto día el viejo panadero horneó 9 pasteles más que el promedio de todo el equipo (incluyéndolo a él). Si se sabe que ese día cada estudiante horneó 15 pasteles ¿cuántos pasteles fueron horneados por todo el equipo?
