Publicaciones Recientes

Problema

P5 OMM 1997. Triángulo formado por cevianas

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 10:32.

Sean $P, Q, R$ puntos sobre los lados de un triángulo $ABC$ con $P$ en el segmento $BC$, $Q$ en el segmento $AC$ y $R$ en el segmento $BA$, de tal manera que si $A'$ es la intersección de $BQ$ con $CR$, $B'$ es la intersección de $AP$ con $CR$, y $C'$ es la intersección de $AP$ con $BQ$, entonces $AB' = B'C',BC' = C'A'$, y $CA' = A'B'$. Calcule el cociente del área del triángulo $PQR$ entre el área del triángulo $ABC$.

Problema

P4 OMM 1997. Planos determinados por seis puntos

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 10:31.

Dados 3 puntos no alineados en el espacio, al único plano que los contiene le llamamos plano determinado por los puntos. ¿Cuál es el mínimo número de planos determinados por 6 puntos en el espacio si no hay 3 alineados y no están los 6 en un mismo plano?

Problema

P3 OMM 1997. Dieciseis vecinos en una cuadrícula

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 10:29.

En una cuadrícula de 4 × 4 se van a colocar los números enteros del 1 al
16 (uno en cada casilla).

  • (a) Pruebe que es posible colocarlos de manera que los números que aparecen en cuadros que comparten un lado tengan una diferencia menor o igual a 4.
  • (b) Pruebe que no es posible colocarlos de tal manera que los números que aparecen en cuadros que comparten un lado tengan diferencia menor o igual a 3.
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P2 OMM 1997. Alineados con centroide... ¿Menelao?

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 10:26.

En un triángulo $ABC$, sean $P$ y $P'$ puntos sobre el segmento $BC$, $Q$ en  $CA$ y $R$ sobre $AB$, de forma que $$\frac{AR}{RB}=\frac{BP}{PC}=\frac{CQ}{QA}=\frac{CP'}{P'B}$$
Sean $G$ el centroide del triángulo $ABC$ y $K$ el punto de intersección de las rectas $AP'$ y $RQ$. Demuestre que los puntos $P, G, K$ son colineales.

Problema

P1 OMM 1997. Primo función de un primo

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 10:24.

Encuentre todos los números primos positivos $p$ tales que $8p^4 - 3003$ también es un primo positivo.

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P6 OMM 1996. Perpendiculares que miden el lado que cortan

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 09:45.

En la figura se muestra un triángulo acutángulo $ABC$ en el que la longitud de $AB$ es menor que la de $BC$ y la de $BC$ es menor que la de $AC$ . Los puntos $A', B'$ y $C'$ son tales que $AA'$ es perpendicular a $BC$, y la longitud
de $AA'$ es igual a la de $BC$; $BB'$ es perpendicular a $AC$ y la longitud de $BB'$ es igual a la de $AC$; $CC'$ es perpendicular a $AB$ y la longitud de $CC'$ es igual a la de $AB$. Además el ángulo $AC'B$ es de 90 grados. Demuestra que $A', B'$ y $C'$ son colineales.

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P5 OMM 1996. Recorre los cuadros y suma sus números

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 09:36.

En una cuadrícula de $n \times n$ se escriben los números del 1 al $n^2$ en el orden habitual (de izquierda a derecha y de arriba a abajo). Como ejemplo se ilustra el caso $n = 3$: $$1 ~2 ~3$$ $$4 ~5 ~6$$ $$7 ~8 ~9$$

Llamemos camino en la cuadrícula a una sucesión de pasos de un cuadro a otro desde el cuadro 1 hasta el $n^2$, de tal manera que en cada paso el movimiento sea hacia la derecha o hacia abajo. Si $C$ es un camino, denotamos por $L(C)$ a la suma de los números por los que pasa el camino $C$.

Problema

P4 OMM 1996. Ocho distintos múltiplos de n

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 09:32.

¿Para qué enteros $n \geq 2$ se pueden acomodar los números del 1 al 16 en los cuadros de una cuadrícula de $4×4$ (un número en cada cuadro, sin repetir números) de tal manera que las 8 sumas de los números que quedan en cada fila y en cada columna sean múltiplos de $n$, y que estos 8 múltiplos sean todos distintos entre sí?
 

Problema

P3 OMM 1996. Cubrir cuadrícula con dominós con una condición

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 09:30.

Demuestra que no es posible cubrir una cuadrícula de 6cm × 6 cm con 28 rectángulos de 2cm × 1cm, de tal manera que cada una de las rectas de longitud 6cm que forman la cuadrícula y que están en el interior de la misma pase por uno de los rectángulos. Demuestra también que sí es posible cubrir una cuadrícula de 6cm × 5cm con 15 rectángulos de 2cm × 1cm de tal manera que cada una de las rectas de 5cm o 6 cm que forman la cuadrícula y que están en el interior de la misma pase por el centro de por lo menos uno de los rectángulos.

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P2 OMM 1996. La ficha 1 te prende el foco

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 09:28.

Bordeando una mesa circular hay dibujadas 64 casillas y en cada una hay una ficha. Las fichas y las casillas están numeradas del 1 al 64 en orden consecutivo (cada ficha está en la casilla del mismo número). En la parte central de la mesa hay 1996 focos apagados. Cada minuto todas las fichas se desplazan simultáneamente, en forma circular (en el mismo sentido de la numeración), como sigue: la ficha #1 se desplaza una casilla, la ficha #2 se desplaza dos casillas, la ficha #3 se desplaza 3 casillas, etcétera, pudiendo varias casillas ocupar la misma posición.

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