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¿Cómo se calcula la longitud de una ceviana?
Sea $ABC$ un triángulo cuyos lados son $a, b, c$. Se divide cada lado del triángulo en "n" segmentos iguales. Sea $S$ la suma de los cuadrados de las distancias de cada vértice a cada uno de los puntos de división del lado opuesto distintos de los vértices. Demuestre que $$\frac{S}{a^2+b^2+c^2}$$ es un número racional.
¿Cómo se definía elipse?
Demuestre que entre todos los triángulos cuyos vértices distan 3, 5 y 7, de un punto
dado P, el que tiene mayor perímetro admite a $P$ como su incentro.
Seis naturales no nulos
Sean $a,b,c,d,p$ y $q$ números naturales no nulos que verifican $ad - bc = 1$, y $$\frac{a}{b}\gt \frac{p}{q}\gt \frac{c}{d}$$
Demostrar que
- $q\geq b+d$
- Si $q=b+d$ entonces $p=a+c$
Lados y alturas en progresión aritmética, equilátero
Las medidas de los lados de un triángulo están en progresión aritmética, y las longitudes de las alturas del mismo triángulo también están en progresión aritmética. Demuestre que el triángulo es equilátero.
Puntos en lados opuestos de un cuadrilátero
Sean $ABCD$ un cuadrilátero plano convexo, y $P$ y $Q$ puntos de $AD$ y $BC$, respectivamente, tales que
$$\frac{AP}{PD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BQ}{QC}$$
Demuestre que los ángulos que forma la recta $PQ$ con las rectas $AB$ y $DC$ son iguales.
Raíces de una ecuación cúbica
Si $r, s$ y $t$ son las raíces de la ecuación $$x(x-2)(3x-7)=2$$
a) Demuestre que $r,s$ y $t$ son positivos.
b) Calcule $\arctan{r}+\arctan{s}+\arctan{t}$
El truco es conjugar
Pruebe que si $m, n, r$ son enteros positivos, no nulos, y $$1+m+n\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{2r-1}$$, entonces $m$ es un cuadrado perfecto.
Una condición de isósceles
En un triángulo $ABC$, $M$ y $N$ son los puntos medios respectivos de los lados $AC$ y $AB$, y $P$ el punto medio de intersección de $BM$ y $CN$. Demuestre que, si es posible inscribir una circunferencia en el cuadrilátero $ANPM$, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.
Funciones que cumplen ecuación
Encontrar las funciones $f(x)$ tales que cumplen la ecuación $$[f(x)]^2[f(1-x)/(1+x)]=64x$$ para $x\neq0,x\neq1,x\neq-1$
Cevianas por el circuncentro
Dado un triángulo $ABC$, considere los puntos $D, E, F$ en las rectas $BC, AC, AB$, respectivamente. Si las rectas $AD, BE, CF$ pasan todas por el centro $O$ del circuncírculo de $ABC$, cuyo radio es $r$, demostrar que
$$\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CE}=\frac{2}{r}$$
