Publicaciones Recientes
Dos desigualdades y una ecuación
a) Demostrar que para todas las parejas $a,b$ de números reales se cumplen las desigualdades:
$$(a^2+1)(b^2+1)\geq(ab+1)^2$$
$$(a^2+1)(b^2+1)\geq(a+b)^2$$
b) Decir, con prueba, para qué valores se cumple la igualdad en cada una de las desigualdades anteriores.
c) Encontrar todas las soluciones $(x,y)$ en números reales, de la ecuación $(x^2+1)(y^2+1)=(xy+1)(x+y)$
No podrían saludar sólo a uno
Cada uno de los 61 competidores en el concurso estatal saludó de mano al menos a otro competidor. Demostrar que alguno de ellos saludó de mano al menos a dos competidores.
Múltiplo de 1001
Demostrar que el número 100...001, el cual tiene doscientos ceros intermedios, es múltiplo de 1001.
Método de áreas (para encontrar razones)
¿Cómo se demostraba Ceva con áreas?
Sean $L,M,N$ puntos sobre los lados $BC,CA,AB$ del triángulo $ABC$, y las cevianas $AL,BM,CN$ concurrentes en el punto P. Calcular el valor numérico de las sumas de razones siguientes:
$$\frac{PL}{AL}+\frac{PM}{BM}+\frac{PN}{CN}$$
$$\frac{AP}{AL}+\frac{BP}{BM}+\frac{CP}{CN}$$
Diofantina de primos
Encontrar todos los primos $p,q$ que cumplen la ecuación $p+q^2=q+145p^2$
Triángulo y circunferencia circunscrita
Dado el triángulo $ABC$, se consideran los puntos $D$, $E$, y $F$ sobre los segmentos $BC$, $AC$, y $AB$, respectivamente. Demostrar que si los segmentos $AD$, $BE$, y $CF$ pasan por el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, de radio $R$, entonces
$\displaystyle \frac{1}{AD} + \frac{1}{BE} + \frac{1}{CF} = \frac{2}{R}$.
Operan al primo... ¿resultó cuadrado? ¡perfecto!
Encontrar todos los primos $p$ tales que $5^p+4p^4$ es cuadrado perfecto.
Desigualdad separable
Sean $x,y$ números reales no negativos. Demostrar que se cumple la desigualdad
$$(x+y^3)(x^3+y)\geq{4x^2y^2}$$
¿En qué casos se logra la igualdad?
Un punto dentro de un equilátero
Un punto $P$ en el interior de un triángulo equilátero $ABC$ es tal que $PC=3, PA=4, PB=5$. Calcular el perímetro del triángulo $ABC$.
