Publicaciones Recientes
Divisibilidad entre el producto de tres primos (P6)
Sean $p,q,r$ números primos positivos distintos. Muestra que si $pqr$ divide a $$(pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1$$ entonces $(pqr)^3$ divide a $$3((pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1)$$
Circunferencia por ortocentro y dos vértices de un acutángulo (P5)
Cuadrícula n por 4 (P4)
Sea $n$ un entero positivo. En una cuadrícula $ n\times 4 $, cada renglón es igual a
2 | 0 | 1 | 0 |
Un cambio es tomar tres casillas
- consecutivas en el mismo renglón y
- con dígitos distintos escritos en ellas
y cambiar los tres dígitos de estas casillas de la siguiente manera
0 → 1, 1 → 2, 2→0
Dos circunferencias tangentes exteriormente (P3)
Sean $ C_1 $ y $ C_2 $ dos circunferencias tangentes exteriormente en un punto $ A $. Se traza una recta tangente a $ C_1 $ en $ B $ y secante a $ C_2 $ en $ C $ y $ D $; luego se prolonga el segmento $ AB $ hasta intersecar a $ C_2 $ en un punto $ E $. Sea $ F $ el punto medio del arco $ CD $ sobre $ C_2 $ que no contiene a $ E $ y sea $ H $ la intersección de $ BF $ con $ C_2 $. Muestra que $ CD,AF $ y $ EH $ son concurrentes.
Lectura de una tabla
La tabla de la figura muestra las frecuencias del número de puntos que los concursantes de la 24 Olimpiada Mexicana de Matemáticas obtuvieron en cada uno de los 6 problemas del examen nacional.
El fácil de la 24 Olimpíada Mexicana de Matemáticas (un problema de inocencia envenenada)
El problema 1 de la 24 OMM resultó ser un hueso duro de roer --para los concursantes que no conocían algunos trucos de acotación. Su enunciado parece tan inocente... "Encuentra todas las ternas de números naturales $(a,b,c)$ que cumplan la ecuación $abc=a+b+c+1$." Pero su inocencia aparente es una inocencia envenenada.
Cambios de estado de focos en un tablero (P2)
En cada casilla de un tablero $ n\times n $hay un foco. Inicialmente todos los focos están apagados. En un paso, se permite cambiar el estado de todos los focos en una fila o de todos los focos en una columna (los focos prendidos se apagan y los focos apagados se prenden). Muestra que si después de cierta cantidad de pasos hay uno o más focos prendidos entonces en ese momento hay al menos n focos prendidos.
Ternas que cumplen una ecuación (P1)
Encuentra todas las ternas de números naturales $ (a,b,c) $ que cumplan la ecuación $ abc=a+b+c+1 $.
Ahora no llegamos ni a la plata (en la 24 OMM)
Cortes: oro, al menos 31; plata, 22 a 30; bronce, 13 a 21. Gerardo y Bernardo, bronce; Dulce, mención. (Germán se derrumbó.)
Problemas de la 24 Olimpiada Mexicana de Matemáticas
Ramón no me mandó los problemas (:(), pero los encontré en el facebook de alguien (las gracias le sean dadas --atacho pantallazos). Los problemas son éstos (capturados a latex, mañana los incorporo a la sección de problemas):