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 En un grupo de personas, cada dos de ellas tiene exactamente un amigo en común en el grupo. Prueba que hay una persona que es amiga de todas las demás personas en el grupo. (Nota: la amistad es mutua, es decir, si X es amigo de Y, entonces Y es amigo de X.)

 De todas las fracciones $\frac{x}{y}$ que cumplen $$\frac{41}{2010}<\frac{x}{y}<\frac{1}{49}$$ encuentra la que tenga menor denominador.

Pare motivar la definición que veremos más adelante resolvamos primero los siguientes problema ejemplos.

Problema 1. Encuentra los números $x$ que satisfacen la congruencia $2x \equiv 1 \pmod{5}$.

Solución. Como sabemos $x \equiv 0,1,2,3 \textrm{ o } 4 \pmod{5}$ para cualquier número $x$.  Entonces, al multiplicar por 2 obtenemos que $2x \equiv 0, 2,4,1 \textrm{ o } 3 \pmod {5}$, en consecuencia, sólo cuando $x \equiv 3 \pmod{5}$ se satisfacerá la congruencia  $2x \equiv 1 \pmod{5}$.  Esto nos determina por completo las soluciones, que serán los números $x$ que dejan residuo 3 al dividirse entre 5.

Algunas consecuencias inmediatas de la preservación de la suma y del producto en las congruencias son las siguientes tres:

Sumar una constante

$a \equiv b \pmod{m}$ implica que $a + c \equiv  b+c \pmod{m}$ para cualquier entero $c$.

Esto es evidentemente cierto, pues $c \equiv c \pmod{m}$ (propiedad reflexiva), y por la preservación de la suma llegamos al resultado.

Multiplicar por una constante

$a \equiv b \pmod{m}$ implica que $c\cdot a \equiv c \cdot b \pmod{m}$ para cualquier entero $c$.

Es igual de evidente que la anterior, se usa la propiedad reflexiva junto con la preservación del producto.