Consecuencias inmediatas de las propiedades de congruencia

Algunas consecuencias inmediatas de la preservación de la suma y del producto en las congruencias son las siguientes tres:

Sumar una constante

$a \equiv b \pmod{m}$ implica que $a + c \equiv  b+c \pmod{m}$ para cualquier entero $c$.

Esto es evidentemente cierto, pues $c \equiv c \pmod{m}$ (propiedad reflexiva), y por la preservación de la suma llegamos al resultado.

Multiplicar por una constante

$a \equiv b \pmod{m}$ implica que $c\cdot a \equiv c \cdot b \pmod{m}$ para cualquier entero $c$.

Es igual de evidente que la anterior, se usa la propiedad reflexiva junto con la preservación del producto.

Elevar a una potencia entera

$a \equiv b \pmod{m}$ implica que $a^{n} \equiv b^{n} \pmod{m}$ para cualquier entero $n \geq 0$.

Esta observación es menos obvia que la anteriores, pero es igualmente cierta y fácil de probar. Primero que nada, el caso $n=0$ es evidentemente cierto pues $a^n =1 = b^n$. Entonces, lo interesante es probar para $n \geq 1$,

Para la demostración formal debe procederse por inducción, pero en esta ocasión sólo vamos a convencernos de ello, analizando los pasos de dicha demostración.

Primero que nada, observemos que como $a \equiv b \pmod{m}$ y $a \equiv b \pmod{m}$ (sí... dos veces lo mismo), podemos multiplicar ambas congruencias por la regla de preservación del producto y obtener que $a^2 \equiv b^2 \pmod{m}$.

Podemos repetir esta regla del producto, pero ahora para $a^2 \equiv b^2 \pmod{m}$ y $a \equiv b \pmod{m}$, y de esta manera obtener que $a^3 \equiv b^3 \pmod{m}$. 

Entonces, no es muy difícil convencerse que este proceso nos lleva a que $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ para cualquier entero positivo $n$, como queríamos probar.