Apliaciones de los módulos

Buena pregunta Arturo, pues voy a contestarte analizando el ejemplo que propones, esto es, en lugar de 6 ponemos un 7.

En este caso, como podrás observar, $2011 \not \equiv 1 \pmod{7}$, en realidad, ahora se tiene (al hacer la división) que $$2011 \equiv 2 \pmod{7}.$$

Entonces, ya no es tan obvio qué pasa al elevar a cualquier potencia, pero sí podemos fácilmente calcular el cuadrado: $$2011^2 \equiv 4 \pmod{7}.$$

Ahora al cubo: $$2011^3 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}.$$

Para ésta última congruencia estoy usando la transitividad, por lo que efectivamente tengo que $$2011^3 \equiv 1 \pmod{7}$$

Ahora SÍ tengo residuo uno, entonces, al elevar a la 
$n$ se concluye que:

$$2011^{3n} \equiv 1 \pmod{7} \qquad \textrm{Para todo entero } n$$

Por otro lado, como tenemos que $2011 \equiv 2 \pmod{7}$, multiplicamos ambas congruencias y llegamos a que: $$2011^{3n+1} \equiv 2 \pmod{7} \qquad \textrm{Para todo entero } n$$

De manera similiar obtenemos que: $$2011^{3n+2} \equiv 4 \pmod{7} \qquad \textrm{Para todo entero } n$$

En otras palabra, podemos determinar cuál será el residuo de $2011^m$ módulo 7 para cualquier entero $m$. Basta con determinar el residuo de  $m$ al dividir entre $3$ y ya está.

Entonces, ya no es dificil determinar cuál es el residuo de  $2011^{2000}+5$ módulo $7$ (¿cuál es?). Para que practiques estas técnicas te dejo los siguientes ejercicios:

• Demuestra que $11$ divide a $7^{10n} -1$ para todo entero $n$.
• Demuestra que $11$ divide a $7^{5n}+1$ para todo impar $n \geq 0$.
• Demuestra que $11$ divide a $7^{2n+1} + 2^{4n+2}$ para todo entero $n$.

Saludos