
Como vimos anteriormente, la resta de dos números, del mismo residuo al dividir entre m , es divisible por m . Es por ello, que se inventó la notación de módulos:
a≡b (mod m) significa que a y b tienen el mismo residuo al dividirse por m. |
Esta notación se lee así: a congruente con b módulo m.
En principio puede parecer una definición sin sentido, pero la gran ventaja de esta notación es la clara forma de expresar los siguientes resultados tan valiosos:
Propiedades | |
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a≡b (mod m) y c≡d (mod m)⇒ a+c≡b+d (mod m) | Conservación de la suma. |
a≡b (mod m) y c≡d (mod m)⇒ ac≡bd (mod m) | Conservación del producto. |
Estos resultados se dejan como actividad para el lector. Pero, es mejor calentar primero con la siguientes propiedades básicas.
Propiedades básicas | |
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a≡a (mod m) | Reflexión. Un número siempre es congruente consigo mismo. |
a≡b (mod m)⇒ b≡a (mod m) | Simétrica. a congruente con b , es lo mismo que b congruente con a |
a≡b (mod m) y b≡c (mod m)⇒ a≡c (mod m) | Transitividad. a congruente con b y este congruente con c, entonces a y c son congruentes. |
Cabe señalar, aunque caiga fuera de los objetivos de esta página, que las propiedades de la tabla anterior convierten a la congruencia en una relación de equivalencia.
Bueno, nada más por no dejar presentamos las pruebas de la preservación de la suma y del producto.
Conservación de la suma
Deseamos probar:
a≡b(modm) y c≡d(modm)⇒a+c≡b+d(modm)
Entonces, por hipótesis, se tiene que a y b tienen el mismo residuo al dividir entre n y, de la misma manera, c y d. Traducido en términos algebraicos, esto significa que existe p y q tales que: a−b=mp y c−d=mq. Ahora bien, al sumar estas dos últimas igualdades se obtiene que (a−b)+(c−d)=mp+mq=m(p+q). Reagrupando, (a+c)−(b+d)=m(p+q). Lo anterior significa que la resta de (a+c) y de (b+d) es divisible por m, o lo que es lo mismo, tienen el mismo residuo. Por lo tanto a+c≡b+d (mod m).
Conservación del producto
Es un buen ejercicio dejar esta prueba para los alumno, pero se presenta aquí para aquél que deseé consultarla. Bueno, pues deseamos probra que:
a≡b (mod m) y c≡d (mod m)⇒ ac≡bd (mod m) |
Entonces, sabemos que existen p y q tales que:
a−b=mpc−d=mqAhora bien, multiplicando la ecuación (1) por c y la ecuación (2) por b, se obtienen las siguientes igualdades:
ac−bc=mpcbc−bd=mqbSumando ambas ecuaciones se obtiene que ac−bd=m(pc+qb), es decir, ac≡bd (mod m) .