Módulos

Enviado por jesus el 12 de Marzo de 2010 - 23:58.

Como vimos anteriormente, la resta de dos números, del mismo residuo al dividir entre $m$ , es divisible por $m$ . Es por ello, que se inventó la notación de módulos:

$a \equiv b$

$(\textrm{mod}$

$m)$ significa que a y b tienen el mismo residuo al dividirse por m.

Esta notación se lee así: a congruente con b módulo m.

En principio puede parecer una definición sin sentido, pero la gran ventaja de esta notación es la clara forma de expresar los siguientes resultados tan valiosos:

Propiedades
$a \equiv b$ $(\textrm{mod}$ $m)$ y $c \equiv d$ $(\textrm{mod}$ $m) \Rightarrow$ $a+c \equiv b+d$ $(\textrm{mod}$ $m)$	Conservación de la suma.
$a \equiv b$ $(\textrm{mod}$ $m)$ y $c \equiv d$ $(\textrm{mod}$ $m) \Rightarrow$ $ac \equiv bd$ $(\textrm{mod}$ $m)$	Conservación del producto.

Estos resultados se dejan como actividad para el lector. Pero, es mejor calentar primero con la siguientes propiedades básicas.

Propiedades básicas
$a \equiv a$ $(\textrm{mod}$ $m)$	Reflexión. Un número siempre es congruente consigo mismo.
$a \equiv b$ $(\textrm{mod}$ $m) \Rightarrow$ $b \equiv a$ $(\textrm{mod}$ $m)$	Simétrica. a congruente con b , es lo mismo que b congruente con a
$a \equiv b$ $(\textrm{mod}$ $m)$ y $b \equiv c$ $(\textrm{mod}$ $m) \Rightarrow$ $a \equiv c$ $(\textrm{mod}$ $m)$	Transitividad. a congruente con b y este congruente con c, entonces a y c son congruentes.

Cabe señalar, aunque caiga fuera de los objetivos de esta página, que las propiedades de la tabla anterior convierten a la congruencia en una relación de equivalencia.

Bueno, nada más por no dejar presentamos las pruebas de la preservación de la suma y del producto.

Conservación de la suma

Deseamos probar:

$a \equiv b \pmod{m} \textrm{ y } c \equiv d \pmod{m} \Rightarrow a+c \equiv b+d \pmod{m}$

Entonces, por hipótesis, se tiene que a y b tienen el mismo residuo al dividir entre n y, de la misma manera, c y d. Traducido en términos algebraicos, esto significa que existe $p$ y $q$ tales que: $a-b = mp$ y $c-d = mq$ . Ahora bien, al sumar estas dos últimas igualdades se obtiene que $(a-b) +(c-d) = mp+mq =m(p+q)$ . Reagrupando, $(a+c) -(b+d) = m(p+q)$ . Lo anterior significa que la resta de (a+c) y de (b+d) es divisible por m, o lo que es lo mismo, tienen el mismo residuo. Por lo tanto $a+c \equiv b+d$ $(\textrm{mod}$ $m)$ .

Conservación del producto

Es un buen ejercicio dejar esta prueba para los alumno, pero se presenta aquí para aquél que deseé consultarla. Bueno, pues deseamos probra que:

$a \equiv b$

$(\textrm{mod}$

$m)$ y

$c \equiv d$

$(\textrm{mod}$

$m) \Rightarrow$

$ac \equiv bd$

$(\textrm{mod}$

$m)$

Entonces, sabemos que existen $p$ y $q$ tales que:

$\begin{eqnarray}\label{equation_1} a-b&=&mp\\ \label{equation_2} c-d&=&mq \end{eqnarray}$

Ahora bien, multiplicando la ecuación ( $\ref{equation_1}$ ) por $c$ y la ecuación ( $\ref{equation_2}$ ) por $b$ , se obtienen las siguientes igualdades:

$\begin{eqnarray*} ac-bc &=& mpc\\ bc-bd &=& mqb \end{eqnarray*}$

Sumando ambas ecuaciones se obtiene que $ac -bd = m(pc+qb)$ , es decir, $ac \equiv bd$ $(\textrm{mod}$ $m)$ .

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