Módulos

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Como vimos anteriormente, la resta de dos números, del mismo residuo al dividir entre m , es divisible por m . Es por ello, que se inventó la notación de módulos:

ab (mod m) significa que a y b tienen el mismo residuo al dividirse por m.

Esta notación se lee así: a congruente con b módulo m.

En principio puede parecer una definición sin sentido, pero la gran ventaja de esta notación es la clara forma de expresar los siguientes resultados tan valiosos:

Propiedades
ab (mod m) y cd (mod m) a+cb+d (mod m) Conservación de la suma.
ab (mod m) y cd (mod m) acbd (mod m) Conservación del producto.

Estos resultados se dejan como actividad para el lector. Pero, es mejor calentar primero con la siguientes propiedades básicas.

Propiedades básicas
aa (mod m) Reflexión. Un número siempre es congruente consigo mismo.
ab (mod m) ba (mod m) Simétrica. a congruente con b , es lo mismo que b congruente con a
ab (mod m) y bc (mod m) ac (mod m) Transitividad. a congruente con b y este congruente con c, entonces a y c son congruentes.

Cabe señalar, aunque caiga fuera de los objetivos de esta página, que las propiedades de la tabla anterior convierten a la congruencia en una relación de equivalencia.

Bueno, nada más por no dejar presentamos las pruebas de la preservación de la suma y del producto.

Conservación de la suma

Deseamos probar:

ab(modm) y cd(modm)a+cb+d(modm)

Entonces, por hipótesis, se tiene que a y b tienen el mismo residuo al dividir entre n y, de la misma manera, c y d. Traducido en términos algebraicos, esto significa que existe p y q tales que: ab=mp y cd=mq. Ahora bien, al sumar estas dos últimas igualdades se obtiene que (ab)+(cd)=mp+mq=m(p+q). Reagrupando, (a+c)(b+d)=m(p+q). Lo anterior significa que la resta de (a+c) y de (b+d) es divisible por m, o lo que es lo mismo, tienen el mismo residuo. Por lo tanto a+cb+d (mod m).

Conservación del producto

Es un buen ejercicio dejar esta prueba para los alumno, pero se presenta aquí para aquél que deseé consultarla. Bueno, pues deseamos probra que:

ab (mod m) y cd (mod m) acbd (mod m)

Entonces, sabemos que existen p y q tales que:

ab=mpcd=mq

Ahora bien, multiplicando la ecuación (1) por c y la ecuación (2) por b, se obtienen las siguientes igualdades:

acbc=mpcbcbd=mqb

Sumando ambas ecuaciones se obtiene que acbd=m(pc+qb), es decir, acbd (mod m) .