Criterios de divisibilidad entre 9 y 11

Una aplicación clásica de los módulos es en la prueba de los criterios de divisibilidad, y en particular en la prueba de los criterio del 9 y del 11.

Notación decimal

Bueno, para entender con exactitud los criterios de divisibilidad hay que recordar el significado de la notación decimal que usamos hoy en día. Que no es más que la notación decimal es posicional y de base 10. Esto se ve en la secundaria (y también algo en la primaria), para los que no se acuerden, esto significa únicamente que, por ejemplo, $$2457 = 2 \times 10 ^3 + 4 \times 10^2 + 5 \times 10 +7$$

En términos más abstractos, pero es exactamente lo mismo, se dice así:

Teorema. Para cualquier entero positivo $N$ existe una sucesión (lista) finita de enteros única $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n$ entre 0 y 9, tales que $$N = a_n10^n + a_{n-1}10^{n-1} + \cdots + a_110 + a_0$$ ,

El teorema, en otras palabra, dice que todo entero positivo se puede escribir en base 10. 

Preliminares

Una función polinomial, es una función de la forma $f(x) = c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1} + \cdots + c_1x+c_0$.

Por ejemplo, $p(x) = 5x^2+2x+9$ es una función polinomial de grado 2. No es muy difícil de convencerse de que $p(10) = 529$.

De esta manera, si $N = a_n10^n + a_{n-1}10^{n-1} + \cdots + a_110 + a_0$, es la notación decimal de $N$, entonces, $N=f(10)$ donde $f(x) =a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$

Ahora bien, recordemos que si $b \equiv d \pmod{m}$ entonces $b^k \equiv d^k \pmod{m}$ para todo entero positivo $k$, por lo que, $a_kb^k \equiv a_kd^k \pmod{m}$, y sumando todas estas congruencias obtenemos que $$a_nb^n + a_{n-1}b^{n-1} + \cdots + a_1b + a_0 \equiv a_nxd^n + a_{n-1}d^{n-1} + \cdots + a_1d + a_0 \pmod{m}$$ Que es lo mismo que decir que $$f(b) \equiv f(d) \pmod{m}.$$ Hemos probado entonces que:

Teorema. Si $b\equiv d \pmod{m}$ entonces $f(b) \equiv f(d) \pmod{m}$ para toda función polinomial $f$ con coeficientes enteros.

Criterio de divisibilidad entre 9.

Como $10 \equiv 1 \pmod{9}$, entonces, $f(10) \equiv f(1) \pmod{9}$.

Si $N = a_n10^n + a_{n-1}10^{n-1} + \cdots + a_110 + a_0$ es la expansión decimal del número N, entonces, $f(10)=N$, y $f(1) = a_0+a_1+ \cdots a_n$ donde $f(x) =a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$ . Por lo tanto, $$N \equiv a_0+a_1+ \cdots a_n \pmod{9}.$$

Ejemplo. Con el número $N= 12756$ se tiene que $12756 \equiv 1+2+7+5+6 \pmod{9}$, es decir, $22756 \equiv 21 \equiv 2+1 \equiv 3 \pmod{9}$. Por lo que el residuo de dividir a 12, 756 entre 9 es 3.

Ahora bien, en este ejemplo se ve que $9$ no divide a 12,756. Pero como 3 divide a 9, podemos cambiar el módulo por módulo 3. Esto nos da que $12756 \equiv 0 \pmod{3}$, por lo tanto, 3 sí divide a  12,756.

Criterio de divisibilidad entre 11

Como $10 \equiv -1 \pmod{11}$ podemos ahora usar el mismo argumento y obtener que si $N = a_n10^n + a_{n-1}10^{n-1} + \cdots + a_110 + a_0$ entonces $N \equiv a_0 - a_1 +a_2-a_3 + \cdots+ (-1)^{n}a_n \pmod{11}$

Ejemplo. Con el número $N= 12756$ se tiene que $12756 \equiv 6-5+7-2+1 \equiv 7 \pmod{11}$, por lo que el residuo de dividir 12,756 entre 11 es 7.

En los ejemplos, se observa que estos criterio no sólo nos determinan si el número es o no divisible por el divisor en cuestión, si no que además nos ayuda a encontrar el residuo de la división sin tener que hacer la división.