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Lados y alturas en progresión aritmética, equilátero
Las medidas de los lados de un triángulo están en progresión aritmética, y las longitudes de las alturas del mismo triángulo también están en progresión aritmética. Demuestre que el triángulo es equilátero.
Puntos en lados opuestos de un cuadrilátero
Sean $ABCD$ un cuadrilátero plano convexo, y $P$ y $Q$ puntos de $AD$ y $BC$, respectivamente, tales que
$$\frac{AP}{PD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BQ}{QC}$$
Demuestre que los ángulos que forma la recta $PQ$ con las rectas $AB$ y $DC$ son iguales.
Raíces de una ecuación cúbica
Si $r, s$ y $t$ son las raíces de la ecuación $$x(x-2)(3x-7)=2$$
a) Demuestre que $r,s$ y $t$ son positivos.
b) Calcule $\arctan{r}+\arctan{s}+\arctan{t}$
El truco es conjugar
Pruebe que si $m, n, r$ son enteros positivos, no nulos, y $$1+m+n\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{2r-1}$$, entonces $m$ es un cuadrado perfecto.
Una condición de isósceles
En un triángulo $ABC$, $M$ y $N$ son los puntos medios respectivos de los lados $AC$ y $AB$, y $P$ el punto medio de intersección de $BM$ y $CN$. Demuestre que, si es posible inscribir una circunferencia en el cuadrilátero $ANPM$, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.
Funciones que cumplen ecuación
Encontrar las funciones $f(x)$ tales que cumplen la ecuación $$[f(x)]^2[f(1-x)/(1+x)]=64x$$ para $x\neq0,x\neq1,x\neq-1$
Cevianas por el circuncentro
Dado un triángulo $ABC$, considere los puntos $D, E, F$ en las rectas $BC, AC, AB$, respectivamente. Si las rectas $AD, BE, CF$ pasan todas por el centro $O$ del circuncírculo de $ABC$, cuyo radio es $r$, demostrar que
$$\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CE}=\frac{2}{r}$$
Un ejercicio en álgebra
Demostrar que si $x\neq1, y\neq1, x\neq{y}$ y $$ \frac{yz-x^2}{1-x}=\frac{zx-y^2}{1-y}$$
entonces ambas fracciones son iguales a $x + y + z$.
Vieta y la desigualdad de las medias
Halle las raíces $r_1, r_2, r_3, r_4$ de la ecuación:
$$4x^4 – ax^3 + bx^2 – cx + 5 = 0$$
Sabiendo que son reales positivos, y que
$$\frac{r_1}{2}+\frac{r_2}{4}+\frac{r_3}{5}+\frac{r_4}{8}=1$$
Punto en el interior de un equilátero
Sea $P$ un punto interior al triángulo equilátero $ABC$ tal que:
$$PA = 5, PB = 7, PC = 8$$
Encontrar la longitud del lado del triángulo ABC.
