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Para un entero positivo $n$ se definen $n_1$ como la suma de los dígitos de $n$, $n_2$ como la suma de los dígitos de $n_1$, y $n_3$ como la suma de los dígitos de $n_2$.

Por ejemplo para $n = 199$, $n_1 = 199_1 = 19, n_2 = 199_2 = 10$ y $n_3 = 199_3 = 1$.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(m, n)$ tales que: $$m + n = 2007$$ $$m_3 + n_3 = 2007_3$$

Dado un triángulo equilátero $ABC$, encuentra todos los puntos $P$ del plano que cumplan $\angle{APB} = \angle{BPC}$.

En los vértices de un cubo están escritos 8 enteros positivos distintos, uno
en cada vértice. Y en cada una de las aristas está escrito el máximo común
divisor de los números que están en los 2 vértices que la forman. Sean $A$ la suma de los números escritos en las aristas y $V$ la suma de los números escritos en los vértices.

• (a) Muestra que $\frac{2}{3}A\leq V$.
• (b) ¿Es posible que $A = V$?

Considera un tablero de ajedrez. Los números del 1 al 64 se escriben en las casillas del tablero como en la figura:

  1       2       3        4       5        6       7       8
  9     10     11     12     13     14     15     16
17     18     19     20     21     22     23     24