Publicaciones Recientes
Producto de diagonales en un polígono regular
Sea A1,A2,…,An los n vértices de un polígono regular con circunferencia circuncrita de radio R, Demuestra que:
OMM Tamaulipas: concurso regional aplazado
Posiblemente hasta el 29 de mayo, el concurso regional entra en una fase de espera debido a la alerta sanitaria nacional --con lo cual, el estatal se aplazaría hasta el 26 de junio.
Encontrar las soluciones de la igualdad
Encuentre todos los números primos p,q tales que p+q = (p−q)3.
Fecha del concurso regiones, decisión de cada sede...
--pero conviene mantener la hipótesis de que se realizará el viernes 8 según programa. (Excepto para la región sur que lo realizará el 22 de mayo... y quizá las otras dos secundemos la propuesta del CETis 109)
Isósceles semejantes sobre un triángulo
Consideremos A′, B′ y C′ tres puntos en el exterior del triángulo ABC, de tal manera que los triángulos A′BC, AB′C y ABC′ son todos isósceles semejantes y de bases BC, CA y AB respectivamente, Demuestra que AA′, BB′ y CC′ concurren.
Equiláteros en los lados de un triángulo
Este es un problema con la misma figura del triángulo de napoleón.
Consideremos los puntos A′, B′ y C′ puntos fuera del triángulos ABC de tal manera que los triángulos A′BC, AB′C y ABC′ son equiláteros. Demuestra que AA′, BB′ y CC′ concurren y son de la misma longitud.
OMM 2008, Problema 6
Las bisectrices internas de los ángulos A, B y C de un triángulo ABC concurren en I y cortan
al circuncírculo de ABC en L, M y N, respectivamente. La circunferencia de diámetro IL,
corta al lado BC, en D y E; la circunferencia de diámetro IM corta al lado CA en F y G;
la circunferencia de diámetro IN corta al lado AB en H y J. Muestra que D, E, F, G, H,
J están sobre una misma circunferencia.
IMO 2008, Problema 1
Un triangulo ABC tiene ortocentro H. La circunferencia con centro en el punto medio de BC, que pasa por H, corta a la recta BC en A1yA2, de manera similar se definen los puntos B1,B2 en la recta CA y C1,C2 en la recta AB. Demuestra que los puntos A1,A2,B1,B2,C1,C2 estan en una misma circunferencia.
Exploración de una propiedad de partición de un n
Con referencia al problema de los Libre de cuadrados, me gustaría decir dos o tres cosas que podrían ser útiles para los novicios en concursos. El problema que planteó Jesús --y que resolvió Zzq-- sobre los libres de cuadrados, es un buen ejercicio en demostración matemática y tiene el nivel de concurso interestatal e incluso de un fácil de un nacional. (Los novicios harían bien en irse familiarizando con los usos y costumbres de la demostración matemática y es para ellos que va dedicado este post.)
Una caracterización de los libres de cuadrados
Considera un entero n>1. Demuestra que existen enteros a,b≥1 tales que a+b=n y n|ab si y sólo si n no es libre de cuadrados.
