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En la pizarra está escrito el número 2. Ana y Bruno juegan alternadamente, comenzando por Ana. Cada uno en su turno sustituye el número escrito por el que se obtiene de aplicar exactamente una de las siguiente operaciones: multiplicarlo por 2 o multiplicarlo por 3 o sumarle 1. El primero que obtenga un resultado mayor o igual a 2011 gana. Decidir quién tiene una estrategia ganadora y describirla.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. Sean $O$ el circuncentro de $ABC$, $K$ el punto de intersección de las diagonales, $L\neq O$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas a $OAC$ y $OBD$, y $G$ el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de los lados de $ABCD$. Demostrar que $O,K, L,G$ están alineados.

Sea $\Gamma$ el incírculo de un triángulo escaleno $ABC$, que es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $D,E,F$ respectivamente. Las rectas $EF$ y $BC$ se cortan en $G$. La circunferencia de diámetro $GD$ corta a $\Gamma$ por segunda vez en $R$. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección (distintos de $R$) de $\Gamma$ con $BR$ y $CR$, respectivamente. Las rectas $BQ$ y $CP$ se cortan en $X$, el circuncírculo de $CDE$ corta a $QR$ en $M$ y el circuncírculo de $BDF$ corta a $PR$ en $N$. Demostrar que $PM, QN$ y $RX$ son concurrentes.

Se tienen diez monedas indistinguibles en hilera. Se sabe que dos de ellas son falsas y están en posiciones consecutivas en la hilera. Una pregunta consiste en elegir un subconjunto cualquiera de las monedas y preguntar cuántas de ellas son falsas.  Decidir si es posible identificar con certeza las monedas falsas haciendo solamente dos preguntas, sin conocer la respuesta de la primera antes de formular la segunda.