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Un problema interesante de exponentes
Problema. Encontrar todos los enteros positivos a,b tales que ab=ba
Monterrey 97
Como se sabe, uno de los 6 problemas del concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas es trivial –por lo menos para quienes han tenido un buen entrenamiento. He aquí el enunciado del primer problema del concurso nacional de 1997.
Encuentra todos los números primos positivos p tales que también sea un primo positivo.
XX Avanzados
Encuentra todas las parejas de números (a,b) tales que a−b es un número primo y el producto ab es un cuadrado perfecto.
Algoritmo Glotón y Criba
Construir un subconjunto B de A={1,2,…,40} tal que |B|=26 (el tamaño de B) y si b1 y b2 están en B entonces b1b2 no es cuadrado perfecto.
Longitud mínima - caso particular
Sean ABC un triángulo rectángulo en A, y P un punto móvil en la hipotenusa BC.
El Tesoro Pirata
En el mapa está un roble, un pino y un mezquite. Las instrucciones son: camina desde el mezquite hacia el pino, gira a la izquierda en ángulo recto, camina la misma distancia que hay del mezquite al pino, y clava ahí una estaca X; después regresa al mezquite, camina hacia el roble, gira a la derecha en ángulo recto, camina la misma distancia que hay entre el roble y el mezquite, y clava ahí una estaca Y. El tesoro está enterrado en el punto medio del segmento XY. ¿Qué hacer si el mezquite ha desaparecido?
Tesoro Pirata Disfrazado
El problema del tesoro pirata puede ser planteado de la siguiente manera. Sean dados los triángulos MPX y MRY, ambos isósceles y rectángulos en P y R respectivamente. Demostrar que la mediatriz del segmento PR pasa por el punto medio de XY.
Problema 1, OMM 2005
Sea O el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, y P un punto cualquiera del segmento BC (P no es ni B ni C). La circunferencia circunscrita al triángulo BPO corta en R al segmento AB (R no es A ni es B), y la circunferencia circunscrita al triángulo COP corta en Q al segmento CA (Q no es C ni es A).
i)Demostrar que el triángulo PQR es semejante al ABC y que O es ortocentro de PQR.
ii)Demuestrar que las circunferencias circunscritas a los triángulos BPO, COP y PQR son todas del mismo tamaño.
El problema 6 de la OMM 2005
Como se sabe, uno de los 6 problemas del concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas es muy difícil –incluso para aquellos concursantes que han tenido un buen entrenamiento. He aquí el enunciado del problema 6 del concurso nacional de 2005.
Sea ABC un triángulo y AD la bisectriz del ángulo BAC, con D sobre BC. Sea E un punto sobre el segmento BC tal que BD=EC. Por E traza l la recta paralela a AD y considera un punto P sobre l y dentro del triángulo. Sea G el punto donde la recta BP corta al lado AC y sea F el punto donde la recta CP corta al lado AB. Muestra que BF=CG.
