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Problema

6.- 480°???

Enviado por Samuel Elias el 17 de Julio de 2023 - 20:17.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $A_1$ , $B_1$ y $C_1$ puntos interiores de $ABC$ tales que $BA_1$ = $A_1C$ , $CB_1$ = $B_1A$ , $AC_1$ = $C_1B$ y < $BA_1C$ + < $CB_1A$ + < $AC_1B$ = 480°.

Las rectas $BC_1$ y $CB_1$ se cortan en $A_2$ , las rectas $CA_1$ y $AC_1$ se cortan en $B_2$ , y las rectas $AB_1$ y $BA_1$ se cortan en $C_2$ .

Demuestra que si el triángulo $A_1B_1C_1$ es escaleno, entonces los tres circuncírculos de los triángulos $AA_1A_2$ , $BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan todos por dos puntos comunes.

NOTA: un triángulo escaleno tiene sus 3 longitudes de lados distintos.

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5.- Triángulo Japonés

Enviado por Samuel Elias el 17 de Julio de 2023 - 19:54.

Sea $n$ un entero positivo. Un triángulo japonés consiste en 1 + 2 + ... + $n$ círculos iguales acomodados en forma de triángulo equilátero de modo que para cada $i$ = 1, 2, ..., $n$ , la fila número $i$ contiene exactamente $i$ círculos, de los cuales exactamente uno de ellos se pinta de rojo. Un camino ninja en un triángulo japoné es una sucesión de $n$ círculos que comienza en el círculo de la fila superior y termina en el círculo de la fila inferior, pasando sucesivamente de un círculo a uno de los dos círculos inmediatamente debajo de él.

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4.- El término 2023

Enviado por Samuel Elias el 17 de Julio de 2023 - 19:35.

Sean $x_1$ , $x_2$ , ..., $x_{2023}$ números reales positivos, todos distintos entre sí, tales que

$a_n$ = $\sqrt{(x_1 + x_2 + ... + x_n)(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n})}$

es entero para todo $n$ = 1, 2, ..., 2023. Demuestra que $a_{2023} \geq 3034$ .

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3.- Un polinomio, una sucesión infinita

Enviado por Samuel Elias el 17 de Julio de 2023 - 19:23.

Para cada entero $k \geq 2$ , determina todas las sucesiones infinitas de enteros positivos $a_1, a_2, \dots$ para los cuales existe un polinomio $P$ de la forma $P(x) = x^k + c_{k-1}x^{k-1} + ... + c_1x + c_0$ , con $c_0, c_1, \dots , c_{k-1}$ enteros no negativos, tal que

$P(a_n) = a_{n+1}a_{n+2} \cdots a_{n+k}$

para todo $n \geq 1$

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2.- Revive la geo con una concurrencia

Enviado por Samuel Elias el 17 de Julio de 2023 - 19:13.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$ . Sea Ω el circuncírculo de ABC. Sea S el punto medio del arco $CB$ de Ω que contiene a A. La perpendicular por $A$ por $BC$ corta al segmento $BS$ en $D$ y a Ω de nuevo en E ≠ A. La paralela a $BC$ por $D$ corta a la recta $BE$ en $L$ . Sea ω el circuncírculo del triángulo $BDL$ . Las circunferencias ω y Ω se cortan de nuevo en P ≠ B. Demuestra que la recta tangente a ω en P corta a la recta BS en un punto de la bisectriz interior del ángulo < $BAC$ .

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1.- No le tengas miedo a la IMO

Enviado por Samuel Elias el 17 de Julio de 2023 - 19:04.

Determina todos los enteros compuestos $n >1$ que satisfacen la siguiente propiedad:

Si $d_1, d_2, \dots, d_k$ son todos los divisores positivos de $n$ con $1 = d_1 < d_2< \cdots< d_k = n$ , entonces $d_i$ divide a $d_{i+1} + d_{i+2}$ para cada $1 \leq i \leq k-2$ .

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P8. Hexágonos de palitos con áreas iguales

Enviado por jesus el 26 de Junio de 2023 - 16:01.

Se tienen nueve palitos de madera: tres azules de longitud $a$ cada uno, tres rojos de longitud $r$ cada uno y tres verdes de longitud $v$ cada uno, tales que es posible formar un triángulo $T$ con palitos de colores distintos.

Dana puede formar dos arreglos, comenzando con $T$ y utilizando los otros seis palitos para prolongar los lados de $T$ , como se muestra en la figura. De esta manera se pueden formar dos hexágonos cuyos vértices son los extremos de dichos seis palitos. Demuestra que ambos hexágonos tienen la misma área.

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P7. El orden de $x$ , $y$ y $z$ es independiente de $a$ y $b$ .

Enviado por jesus el 26 de Junio de 2023 - 15:43.

Supongamos que $a$ y $b$ son dos números reales tales que $0 < a < b <1$ . Sean :

$x = \frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a+b}}, \quad y = \frac{1}{b-a} - \frac{1}{b} \quad \textrm{y} \quad z =\frac{1}{\sqrt{b-a}} - \frac{1}{\sqrt{b}}$

Muestra que $x$ , $y$ y $z$ quedan siempre ordenados de menor a mayor de la misma manera, independientemente de la elección de $a$ y $b$ . Encuentra dicho orden entre $x$ , $y$ y $z$ .

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P6. Borrando números del pizarrón

Enviado por jesus el 26 de Junio de 2023 - 15:35.

Alka encuentra escrito en un pizarrón un número $n$ que termina en 5. Realiza una secuencia de operaciones con el número en el pizarrón. En cada paso decide realizar una de las dos operaciones siguientes:

Borrar el número escrito $m$ y escribir su cubo $m^3$ .
Borrar el número escrito $m$ y escribir el producto $2023\cdot m$

Alka realiza cada una de las operaciones un número par de veces en algún orden y al menos una vez, y obtiene finalmente el número $r$ . Si las cifras de las decenas de $r$ es un número impar, encuentra todos los valores posibles que la cifra de las decenas de $n^3$ pudo haber tenido.

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P5. Palitos y perímetro

Enviado por jesus el 26 de Junio de 2023 - 14:24.

Mía tiene dos palitos verdes de 3cm cada uno, dos palitos azules de 4cm cada uno y dos palitos rojos de 5cm cada uno. Mía quiere formar un triángulo utilizando los seis palitos como su perímetro; todos a la vez y sin encimarlos, ni doblarlos o romperlos. ¿Cuántos triángulos no croncruentes puede formar?

Nota: Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen las mismas medidas. No importa el orden en que los palitos se usen para formar los lados, sólo la medida de los lados formados.