Publicaciones Recientes

Problema

Desigualdad homogenea

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:20.

Sean a,b,c números reales positivos que satisfacen a+b+c=1.
Muestra que: a+bc+b+ca+c+ab2.

Problema

Lugar geométrico equiangular

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:14.

Dado un triángulo equilátero ABC, encuentra todos los puntos P del plano que cumplan APB=BPC.

Problema

Diez consecutivos son divisores --pero no 11

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:09.

Encuentra todos los enteros positivos N con la siguiente propiedad: entre todos los divisores positivos de N, hay 10 números consecutivos, pero no 11.

Problema

La arista es el MCD de sus vértices

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 05:50.

En los vértices de un cubo están escritos 8 enteros positivos distintos, uno
en cada vértice. Y en cada una de las aristas está escrito el máximo común
divisor de los números que están en los 2 vértices que la forman. Sean A la suma de los números escritos en las aristas y V la suma de los números escritos en los vértices.

  • (a) Muestra que 23AV.
  • (b) ¿Es posible que A=V?
Problema

Juego de caballeros

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 05:40.

Los caballeros C1,C2,,Cn, del Rey Arturo, se sientan en una mesa
redonda de la siguiente manera:



El rey decide realizar un juego para premiar a uno de sus caballeros. Iniciando con C1, y avanzando en el sentido de las manecillas del reloj, los caballeros irán diciendo los números 1, 2, 3, luego 1, 2, 3, y así sucesivamente (cada caballero dice un número). Cada caballero que diga 2 ó 3 se levanta inmediatamente y el juego continúa hasta que queda un solo caballero: el ganador.

Problema

Caballos en el tablero

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 05:25.

Considera un tablero de ajedrez. Los números del 1 al 64 se escriben en las casillas del tablero como en la figura:

  1       2       3        4       5        6       7       8
  9     10     11     12     13     14     15     16
17     18     19     20     21     22     23     24

Problema

Expresado como suma de potencias --de sus primeros dos divisores

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 05:12.

Sean 1=d1<d2<d3<dk=n los divisores del entero positivo n. Encuentra todos los números n tales que n=d22+d33.

Noticia

Examenes de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas por fin en MaTeTaM

Enviado por vmp el 30 de Julio de 2010 - 10:55.

Como seguramente ya lo habrán notado. Hemos estado agregando todos los problemas de todos los exámenes de la OMM.

Ojalá se tomen el tiempo de resolverlos todos y nos compartan sus soluciones.

A continuación escribo las ligas a cada uno de los exámenes de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, desde 1987 a 2009 2010:

Problema

P6 OMM 2006. Problema con números surtidos

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 07:34.

Sea n la suma de los dígitos de un entero positivo A. Decimos que A es “surtido” si cada uno de los enteros 1,2,,n es suma de dígitos de A

  • Demuestra que si 1,2,,8 son sumas de dígitos de un entero A entonces A es surtido.
  • Si 1,2,,7 son sumas de dígitos de un entero A, ¿es A necesariamente surtido?

Nota: El número 117 no es surtido pues sólo 1=1,2=1+1,7=7,8=1+7,9=1+1+7 se pueden escribir como suma de dígitos de 117.
 

Problema

P5 OMM 2006. Altura de triángulo pedal

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 07:30.

Sean ABC un triángulo acutángulo y, AD,BE y CF sus alturas. La circunferencia con diámetro AD corta a los lados AB y AC en M y N, respectivamente. Sean P y Q los puntos de intersección de AD con EF y MN, respectivamente. Demuestra que Q es el punto medio de PD.

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