Segunda lección: complementos

En este post, dirigido a los alumnos del curso, propongo resolver 11 problemas de geometría elemental. Las dudas expresarlas en comentarios.

1. Encontrar la longitud de la altura de un triángulo equilátero de lado $8\sqrt{21}$. Sugerencia:Pitágoras.

2. Utilizando el teorema de Pitágoras, demostrar que la altura de un triángulo equilátero es también mediana (y, por tanto, mediatriz y bisectriz).

3. Demostrar que la altura de un triángulo equilátero de lado 2 mide $\sqrt{3}$ (y si de lado $2a$, $\sqrt{3}a$). Utilizar este hecho para demostrar rápidamente que la altura de un equilátero de lado $8\sqrt{21}$ es $4\sqrt{63}$.

4. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide el doble que uno de sus catetos ¿cuánto miden sus ángulos no rectos? Sugerencia: ¿cuál triángulo rectángulo es la mitad de un equilátero?

5. Demostrar que los ángulos de un equilátero son todos de 60 (es decir, el equilátero es equiángulo). 

6. Teorema del cateto y la hipotenusa: Se da una correspondencia entre dos triángulos rectángulos. Si la hipotenusa y un cateto de uno de ellos son congruentes con las partes correspondientes del otro, entonces los triángulos son congruentes. (Sugerencia: Pitágoras y criterio LLL.)

7.Demostrar que, para cualesquiera dos enteros $m,n$, se cumple la identidad $(m^2+n^2)^2-(m^2+n^2)^2=(2mn)^2$. Verificarla para $m=1,n=2$, para $m=2,n=3$, $m=3,n=4$. ¿Qué relación tiene esta identidad con el teorema de Pitágoras?

8. Supongamos un triángulo rectángulo de lados enteros $a,b,c$ ($c$ la hipotenusa) y coprimos dos a dos. Demostrar que $a,b,c$ no pueden ser todos pares ni todos impares.

9. Demostrar también que exactamente uno de $a, b$ es impar, exactamente uno de $a, b$ es múltiplo de 3, y exactamente uno de $a, b$ es múltiplo de 4.

10. El inverso del cuadrado de la altura asociada a la hipotenusa es igual a la suma de los inversos de los cuadrados de los catetos: $$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$$

11. En el triángulo $ABC$, rectángulo en $C$, sea $H$ el pie de la altura de $C$. Calcular su área si $AH$ mide 9 unidades y $CH$ 12.

Los saluda

jmd