Básico

Probar que el número abcabc es múltiplo de 7, de 11 y de 13.

Carlos tiene un cierto número de monedas de colección. Cuando ordena las monedas en montones de 5, no le sobra ninguna moneda. Cuando las ordena en montones de a 6, tampoco le sobran monedas. Pero si las ordena en montones de 7, le sobra una moneda. ¿Cuál es el menor número de monedas que puede tener Carlos?

Encuentre el ancho en metros de un rectángulo, si el largo es 18 m más grande que el ancho y su área es 144.

Yace aquí Diofanto, la roca mirad;
Mediante arte algebraico, te dice su edad:
Un sexto de su vida fue niñez y alegría,
y un doceavo adolescente, mientras su barba crecía,
Y después de un séptimo Diofanto casaría.
Pasaron cinco años y un hijo nació.
Pero fue desgraciado pues ese hijo murió,
Cuando tenía la mitad de los años que su padre vivió.
Durante cuatro años más su consuelo halló,
En la ciencia del número y entonces murió.

El cuadrado mágico siguiente es no normal (no usa los números del 1 al 9) y está incompleto. Llena las casillas vacías de tal manera que la suma de cada línea sea la misma.

Demostrar que en el cuadrado mágico normal $3\times3$, el 5 va en el centro. (Es decir, el 5 en el centro es condición necesaria para que se forme cuadrado mágico.)

Demostrar que al colocar los números del 1 al $n^2$ en una matriz $n\times n$ en el orden natural por filas (los primeros $ n $ en la primera fila, del $n+1$ a $2n$ en la segunda, etc.) la suma de los números en cualquier diagonal principal es la misma y es $s=n(n^2+1)/2$. Por ejemplo en

El cuadrado de un número disminuido en 924 es igual 20 veces dicho número. ¿Cuál es ese número? (Genera uno similar.)

La suma de dos números es 36 (variante: 750) y su producto es 243 (variante: 78125). Encuentra los números. ¿Podrías plantear uno con la misma estructura?