Básico
El 3 de la ONMAS 2010
Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $B$. Sean $D$ el pie de la altura desde $B$, $E$ el punto medio de $CD$ y $F$ un punto sobre la recta por $A$ y $B$ de manera que $BA=AF$. Muestra que las rectas $BE$ y $FD$ son perpendiculares.
Problema 1
El pentágono ABCDE es tal que AB=BC y CD=DE, y sus ángulos en A,C, y E son rectos. Encontrar la medida del ángulo ECA.
Encuentra el ángulo
El triángulo ABC es rectángulo en C, y las bisectrices de sus ángulos en A y B cortan los lados BC y CA en P y Q respectivamente. Los puntos M y N sobre el lado AB son los pies de las perpendiculares bajadas desde P y Q, respectivamente. ¿Cuánto vale el ángulo MCN?
Divisores de 6n
Sea $ n $ un entero positivo. Si $2n$ tiene 30 divisores positivos y $3n$ tiene 32 ¿Cuántos divisores tiene $6n$?
Razonar la representación decimal de un número
Un número de 4 dígitos es 9 veces el número que resulta de quitarle el primer dígito. Encontrar todos los valores posibles de ese primer dígito.
Suma de consecutivos
La suma de 18 enteros consecutivos positivos es un cuadrado perfecto. Encontrar el mínimo valor que puede tener esa suma.
¿Qué es lo que no se puede hacer con los primos?
Encontrar todos los valores enteros positivos $ n $ para los cuales $f(n)=n^2-3n+2$ es un número primo. Justifica tu respuesta.
Decisión económica en la Nomás no Abandones
El director de la preparatoria Nomás no Abandones recibió un cierto monto de dinero para repartir 36 becas entre los alumnos de más alto desempeño. Usó su buen juicio y llegó a la conclusión de que el proceso de decidir quiénes eran los mejores era complicado y que de cualquier manera no faltarían las protestas. De ahí que la decisión económica fue repartir ese dinero entre 36 de sus favoritos. Pero, como todo mundo sabe o debería saber, hay siempre algunos que son más favoritos que otros (llamémosles predilectos). Así que a los predilectos les entregó 700 pesos más que a los simples favoritos.
Club Ecologito
El Club Ecologito de la preparatoria Estudia Después, formado por 24 estudiantes de ambos sexos, realizó el sábado una jornada de reforestación y embellecimiento de su centro escolar. Una anacahuita plantada por cada 3 varones y 3 rosales por cada mujer. En total fueron 24 plantas. Calcular el número de integrantes masculinos del club.
Problema 5 (Ciudades, OMM_Tam_2010)
Con los dígitos $1, 2, \ldots, 9$ ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar, con la condición de que la suma de sus cifras sea par?
