P1 OMM 37

Sean $a, b, c, d$ los dígitos de nuestros enteros positivos. Entonces:

$a^2+b^2+c^2+d^2=2(a+b+c+d)=2a+2b+2c+2d$

Sea $LS=a^2+b^2+c^2+d^2$ y $RS=2a+2b+2c+2d$. Entonces queremos que $LS=RS \Leftrightarrow LS-RS=0$

$\forall x \geq 3 \in \mathbb{N}, x^2>2x$ Entonces, si algún dígito es mayor o igual a 4, tendremos que $LS-RS \geq 8$. Para poder equilibrar la igualdad, necesitaremos usar puros dígitos 1 ya que $1^2 <2(1)$, pero entonces $LS-RS \geq 5$.

$\therefore$ Solo podemos usar dígitos 0, 1, 2, 3.

Si usamos un dígito 3, nota que $LS-RS=3$, entonces para alcanzar el 0, tendremos que usar puros dígitos 1 (usar talacha para comprobar). 

Si usamos un dígito 2, los demas dígitos tendrán que ser 0 o 2 para que no se altere la igualdad (demostrar primero que para usar un dígito 3 se usan 3 dígitos 1).

Usar 1 dígito 1 implica usar 1 dígito 3 que implica usar más dígitos 1.

Entonces nuestras respuestas son:

3111, 1311, 1131, 1113, 2000, 2200, 2020, 2002, 2220, 2022, 2222