Sean ABC un triángulo acutángulo, Γ su circuncírculo y O su circuncentro. Sea F el punto en AC tal que ∠COF=∠ACB, donde F y B están de lados opuestos respecto a CO. La recta FO corta a BC en G. La paralela a BC por A interseca a Γ de nuevo en M. Las rectas MG y CO se cortan en K. Demuestra que los circuncírculos de los triángulos BGK y AOK concurren en AB.
¡Muy fácil! Investiguemos al
¡Muy fácil!
Investiguemos al punto F. El cuadrilátero ABCM es un trapecio isoscéles, por lo que
∠COF=∠ACB=1/2∠AOB=1/2∠MOC.
Esto implica que OF es bisectriz en el triángulo isoscéles OMC y por tanto OF es mediatriz de CM. Así que CG=GM i.e el triángulo CGM es isoscéles.
Ahora descubramos lo que nos piden demostrar. Sea R un punto en AB de manera que GBKR sea ciclico. Basta demostrar que ∠AOK=∠BRK pero ∠BRK=∠KBG por lo que intentaremos ver que ∠KGB=∠KOA.
Finalmente, hagamos las cuentas. Si ∠ABC=β entonces ∠BCM=β por el trapecio isoscéles y ∠GMC=β por que GMC es isoscéles. Por tanto ∠MGC=180−2β. Por otro lado ∠AOC=2β lo que implica que ∠AOK=180−2β, como queriamos.
Pongo aquí la imagen por que ya no recuerdo como colocar imagenes.
https://drive.google.com/file/d/1qx2vw3u6hbFM2QokfW_2vDdzCFeJb7VE/view?u...
Saludos,
german.