Un cubo y muchos cubitos

Un cubo de $n \times n \times n$ está construido con cubitos de  $1\times 1 \times 1$, algunos negros y otros blancos, de manera que en cada uno de los subprismas de $n \times 1 \times 1$, de $1 \times n \times1$ y de  $1 \times 1 \times n$ hay exactamente dos cubitos negros y entre ellos hay un número par (posiblemente 0) de cubitos blancos intermedios. Por ejemplo, en la siguiente ilustración, se muestra una posible rebanada de cubo de  $6 \times 6 \times 6$ (formada por 6 subprismas de $1\times{6}\times{1}$

Muestra que es posible sustituir la mitad de los cubitos negros por cubitos blancos para que en cada subprisma de  $n\times{1}\times{1}$, de  $1 \times{n}\times{1}$ y de $1\times{1}\times{n}$ haya exactamente un cubito negro.