Una pareja de enteros es especial si es de la forma (n,n−1) o de la forma (n−1,n) con n un entero positivo. Muestra que una pareja (n.m) de enteros positivos que no es especial, se puede representar como suma de dos o más parejas especiales diferentes si y sólo si los enteros n y m satisfacen la desigualdad n+m≥(n−m)2.
Nota: la suma de dos parejas se define como (a.b)+(c,d)=(a+c,b+d)
Supongamos que m≥n y
Supongamos que m≥n y que m−n=k por lo que si los numeros (m,n) satisfacenn la desigualdad se tendra que:
1) haciendo m=n+k
2n+k≥k2 por lo que n≥k(k−1)2 es decir la suma de los primeros k−1 enteros positivos,
2) haciendo n=m−k
2m−k≥k2 de donde m≥k(k+1)2 la suma desde uno hasta k
Denotemos por Sk=1+2+3+⋯+k la suma desde uno hasta k. En particular si Sk−Sk−1 = m−n= k entonces m−Sk= n−Sk−1 supongamos que esto es igual a i para tener que:
m=Sk+i luego m=Sk−1+(k+i) de manera similar: n=Sk−1+i luego n=Sk−2+(k−1+i) por lo que acomodemos las parejas de la sig manera:
(0,1)+(1,2)+(2,3)+⋯+(k−2,k−1)+(k+i−1,k+i)=(n,m)
si n=m hacemos (0,1)+(n,n−1)=(n,n)=(m,m)=(m,n)
Saludos
Germàn.