Sea $ABCD$ un paralelogramo con ángulo obtuso en $A$. Sea $P$ un punto sobre el
segmento $BD$ de manera que la circunferencia con centro en $P$ y que pasa por $A$, corte a la recta $AD$ en $A$ y $Y$ , y corte a la recta $AB$ en $A$ y $X$. La recta $A$P intersecta a $BC$ en $Q$ y a $CD$ en $R$, respectivamente. Muestra que $\angle{XPY} = \angle{XQY} +\angle{XRY}$ .
Esta es mi solución. Sea
Esta es mi solución.
Sea ∠RQY= α, ∠QYR= β, ∠XQR= γ, ∠RXQ= θ, ∠RYP= δ, ∠PXR= ϵ.
=>∠XPY= α+β+γ+θ+δ+ϵ, ∠XQY= α+γ, ∠XRY= α+β+θ+γ y
∠XQY+∠XRY= 2α+β+2γ+θ. Entonces, si demostramos que α+γ=δ+ϵ habremos acabado. Esto lo haremos mostrando que los triángulos QYP y RYP son semejantes, análogamente lo haremos con los triángulos QPX y RPX.
Los triángulos APD y PBQ son semejantes
=> $\frac{AP}{PQ}$=$\frac{DP}{PB}$
También los triángulos RDP y BPA son semejantes
=>$\frac{PR}{AP}$=$\frac{DP}{PB}$
Entonces $\frac{AP}{PQ}$=$\frac{PR}{AP}$ Pero AP=YP=XP
=>$\frac{YP}{PQ}$=$\frac{PR}{YP}$
$\frac{XP}{PQ}$=$\frac{PR}{XP}$
Luego, por el criterio de semejanza LAL,
RYP
QYP y 
RPX
QPX, como queríamos demostrar.
b
Me parece correcta tu
Me parece correcta tu demostración. Es una demostración que usa únicamente argumentos elementales.
Por otro lado, sólo te recuerdo que la notación $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ propiamente significa que el vértice A corresponde al vétice P, el B al Q; y el C al R. Esto implica que el ángulo A debe ser igual al ángulo en P e igualmente con las otras dos parejas de ángulos. Por lo que, las segmejanzas que señalas
en realidad debe escribirse así:
$$\triangle RYP \sim \triangle YQP \quad \textrm{ y }\quad \triangle RPX \sim \triangle XQP$$
Por lo demás, tu demostración me parece elegante. ¡Felicidades!
Saludos
Cierto, Gracias por la
Cierto, Gracias por la observación y por la corrección.
No sé usar Latex, perdón
No sé usar Latex, perdón jajaja
Ya arreglé el Latex que
Ya arreglé el Latex que escribiste. Sí estaban bien tus expresiones, sólo que se te metió basura al copiar y pegar. Esto ocurre por copiar de editores con formato. Es mejor copiar y pegar de editores sin formato, como el editor de notas (notepad).