¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que puedes tomar del conjunto de números
enteros $\{1,2, . . . ,2012,2013\}$, de tal manera que entre ellos no haya tres distintos,
digamos $a, b, c$, tales que $a$ sea divisor o múltiplo de $b−c$?
Elección con restricción negativa
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Sea $a_1 , \cdots , a_n$ es
Sea $a_1 , \cdots , a_n$ es nuestro conjunto, si $a_1$ es el minimo elemento de nuestro conjunto entonces, dicho conjunto tiene a lo mas $a_1 + 1$ elementos pues entre cualesquiera $a_1 + 1$ numeros hay dos que dejan el mismo resto en su division entre, $a_1$. Ahora para que se cumpla la segunda condicion podemos tomar solamente impares en nuestro conjunto y luego demsotrar que es el maximo. Buscamos el mayor entero $a_1$ impar de manera que existen $a_1$ enteros impares mayores a el y menores o iguales a 2013. Si $i$ es un entero impar la cantidad de impares mayores a el y menores a 2013 esta dado por la formula $(2013 - i) /2$ y queremos el mayor entero $a_1$ tal que $(2013-a_1)/2$ sea mayor o igual a $a_1$ y como se da la igualdad con $a_1 = 667$ nuestro conjunto es $ { 667,669,\cdots , 2013}$ como tiene 668 elementos vamos a demostrar que no existen conjuntos de 669 o mas que cumplan, hacemos 667 casillas como sigue $(1,2,3),(4,5,6)...,(2011,2012,2013)$ si tomamos 669 elementos o mas, por principio de casillas estamos tomando almenos dos elementos de alguno de los parentesis, como no pueden ser consecutivos entonces su diferencia es dos y luego no hay enteros pares en nuestro conjunto, pero el conjunto con puros impares ya lo encontramos! y terminamos.
Saludos
Gracias por compartinos tu
Gracias por compartinos tu solución Germán. Tu solución está casi completa. Resumo en los siguientes puntos lo que veo.
Bueno Germán, espero haber sido claro en mi comentario. En general la idea se ve muy bien trabajada. Únicamente faltarían esos detalles.
Saludos
Cierto, me equivoque al
Cierto, me equivoque al dividir 2013 sobre tres. Creo que no explique bien que como hay 671 casillas si tomamos 672 existen dos a diferencia dos (que es nuestro conjunto) pero si hay 673 ahora tenemos dos parejas a diferencia dos, si alguna de la pareja es par entonces es divisible por la resta de la otra pareja,luego son impares todos.
Saludos
Ahhhh!! Ya veo, tienes razón.
Ahhhh!! Ya veo, tienes razón. Esto ya me deja clara la última parte de la prueba.
Pero la primera parte de la prueba me está costando trabajo de entender. Es esto sobre los impares, ojalá me ayudes a entender.
Empiezas diciendo que todo conjunto de impares satisface las condición. Tus palabras exactas fueron:
Lo cuál, en principio es falso, pues por ejemplo, {3, 5, 11} no lo satisface, ya que 3 divide 11 - 5. Supongo entonces que te refieres a los conjuntos de $a+1$ impares consecutivos, donde $a$ es el mínimo impar. Pero entonces, no estás considerando todos los conjuntos de impares, contradiciendo lo que más adelante dices, que ya los estudiaste todos, tus palabras exactas fueron:
Por otro lado, no encontré en tus argumentos la justificación de que el conjunto $A_a = \{a, a+2, ...., 3a\}$ con $a$ impar, satisface la condición. Afortundamente, la demostración es simple, pero no la encontré en tus argumentos. Me parece que sí lo usas al menos para $a=671$
Bueno, disculpa tanta lata, pero únicamente estoy tratando de entender cómo es tu solución.
Saludos
Hola, bueno la segunda
Hola, bueno la segunda condicion es que la resta de dos divida al tercero, por eso me tomo solo impares, pues la resta de dos impares no dividen a un impar. Luego me enfoco en buscar un conjunto que cumpla la primera condicion, pero que contenga unicamente impares. No los he estudiado a todos pero como sé que si $a_1$ el es minimo elemento entonces nuestro conjunto tiene a lo mas $a_1 +1$ busco dicho elemento, el maximo posible para que tambien se puede tener la mayor cantidad de elementos, entonces propongo el conjunto antes dicho, pues satisface ambas condiciones y finalmente se demuestra que afirmativamente es la maxima cantidad de elementos que se pueden tomar.
Espero quede un poco mas claro, aunque no entendi, tu duda sobre que no habia estudiado todos lo conjuntos de impares, a lo que me referia es que siempre cumplen la segunda condicion.
Te agradezco tus comentarios, Jesus
Saludos.
Creo entonces, que mi
Creo entonces, que mi confusión estaba en el significado de primera y segunda condición. Yo todo el tiempo entendí que la segunda condición era "$a$ no es divisor o múltiplo de $b-c$" pero ya veo que te referías a la parte de "$a$ no es múltiplo de $b-c$" entonces la primera condición sería "$a$ no es divisor de $b-c$". Entonces, en efecto, si tomas todos impares satisfacerán la segunda condición.
Entonces, creo que lo único que faltaría es probar que el conjunto que encontraste ({671, 673, ..., 2013} con 672 elementos) satisface la primera condición.
Por otro lado, sobre tu frase "pero el conjunto con puros impares ya lo encontramos" no te preocupes, ya entendí que te referías a que el conjunto de puros impares más grande ya lo encontraste.
Únicamente te recomiendo que esas cosas las aclares, o las resumas en lemas para que quede mejor organizado. O sea, podrías escribir un lema que diga así:
"El conjunto más grande con puros impares que satisface las condiciones del problema es {671, 673, ..., 2013}"
y pones la prueba. Posteriormente usas tu argumento de casillas para concluir que cualquier conjunto con 673 o más elementos debe ser de puros impares.
Gracias nuevamente por tu colaboración; espero que mis comentarios te sean de utilidad.
Saludos
Ah bueno, digamos que a |
Ah bueno, digamos que a | b-c y que b= c+ 2x para alguna x. Asi a | 2x y a | x pero la mayor de estas x es precisamente 671, y para toda a se tendra que a>671>x por lo que a no divide a x.
Gracias, Jesús en serio que tu retroalimentacion me es de muchas ayuda.
Saludos
Germán
Muy bien German, con eso ya
Muy bien German, con eso ya queda completa tu demostración.
Aunque creo que sólo hay una finura que te faltó cubrir en esta última demostración. Dijiste "para toda a se tendra que a>671>x" por lo que $a$ no puede dividir a $x$. Pero sí puede ser que $a$ divida a $x$ ya que en realidad la afirmación con todo y finuras es así "para toda $a$ se tendra que $a \geq 671 \geq x$", por lo que si $a | x$ entonces, $a=x=671$ pero para que $x = 671$ tendremos que $b=2013$ y $c=671$; contradiciendo que $a$, $b$ y $c$ eran números distintos.
Por lo demás, ya todo está bien. Ya quedó demostrado a mi entera satisfacción.
Voy a intentar en estos días escribir la solución completa para que leas cómo quedó ya con todos los detalles y ponerla como la solución oficial a este problema.
Saludos, ¡vas muy bien!.