Problemas - Teoría de números
Dos listas de números
Juan tiene la lista de todos los números de 8 dígitos que se pueden formar con cuatro 1’s y cuatro 2’s. José tiene la lista de todos los números de cuatro dígitos que se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3 y 4 y que tengan la misma cantidad de 1’s que de 2’s. Por ejemplo: 1234, 3343, 1122, etc. ¿Quién tiene más números en su lista?
Residuo de una serie de potencias
Encontrar el residuo de dividir entre 5 el número $N= 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 +\ldots+4^{2007}$
Reparto circular con regla añadida
El abuelo reparte 2007 monedas entre sus nueve nietos (digamos A, B, C, D, E, F, G, H e I) de la siguiente manera: Los sienta alrededor de una mesa en el orden de sus nombres y va entregando en ese mismo orden una moneda a cada uno; empieza con A y, al completar la vuelta, la siguiente vuelta comienza con el último, es decir, le entrega una más a I y continúa con A; entregando moneda por moneda, termina la siguiente vuelta con H, le entrega su moneda y con él mismo inicia la siguiente vuelta. Procede de esta manera hasta agotar todas las 2007 monedas. ¿Cuántas monedas le tocaron a cada nieto? ¿A cuál de los nietos le entregó la última moneda?
Suma de divisores mínima
Encuentra el número mayor que 2007 tal que la suma de todos sus divisores sea la mínima.
Múltiplos de 6 y de 7... y potencia de 11
Paz hace una lista con todos los números del 1 al 2006. Encierra en un círculo todos los números que son múltiplos de 6. Luego, encierra en un círculo todos los números que son múltiplos de 7. Finalmente, multiplica todos los números que encerró. ¿Cuál es la mayor potencia de 11 que divide exactamente al resultado de esta multiplicación?
Origen de un número
Para cualquier número natural $n$ se dice que su origen se calcula multiplicando sus cifras, después las cifras del resultado, y así sucesivamente hasta llegar a un número de una sola cifra. Por ejemplo, el origen del 149 es el 8, ya que $149\rightarrow36\rightarrow 18\rightarrow 8$; y el origen del 5486 es el 0, ya que $5486\rightarrow 960\rightarrow 0$. Encuentra la suma de todos los números de dos o más cifras distintas, tales que su origen sea un número impar.
Mayor divisor, 7 veces el menor
Encontrar todos los números naturales $n$ tales que sus divisores, distintos de $1$ y $n$, cumplen que el más grande es 7 veces el más pequeño.
Cuadrados perfectos de tres dígitos consecutivos
Encuentra todos los números de tres cifras que sean cuadrados perfectos y que use cifras consecutivas. Por ejemplo 123, 132, 213, 231,312, 321 son números que usan las cifras consecutivas y 4 es un ejemplo de cuadrado perfecto.
El odómetro chafa
El odómetro (medidor de distancias recorridas) de un carro chafa siempre brinca de 3 a 5, saltándose el 4, sin importar la posición. Por ejemplo, después de viajar un kilómetro cambió de 000039 a 000050. Si el odómetro marca 002005, ¿cuántos kilómetros ha viajado en realidad el carro chafa?
Años superolímpicos
Cuando la edición $N$ de la ONMAS se realiza en un año divisible entre $N$, diremos que es un año superolímpico. Por ejemplo el año 2005 es superolímpico porque se realiza la edición 5 de la ONMAS y 2005 es divisible entre 5. Determina todos los años superolímpicos, sabiendo que la ONMAS se realiza anualmente a partir de 2001 y suponiendo que se seguirá realizando cada año.