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Examenes de la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas por fin en MaTeTaM
Ya habíamos agregado todos los exámenes de las Olimpiada Mexicana de Matemáticas, ahora por fin tenemos todos los exámenes de la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas.
Crónica de una sesión en problem solving
El sábado 14 de enero iniciamos Ramón Llanos y yo un curso-taller de resolución de problemas en la UAMCEH-UAT (según la idea del post 20 problemas)
Juego de intercambios con piedras coloreadas
Sean k y n enteros positivos con k≥2. En una línea recta se tienen kn piedras de k colores diferentes. de tal forma que hay n piedras de cada color. Un paso consiste en intercambiar de posición dos piedras adyacentes. Encontrar el menor entero positivo m tal que siempre es posible lograr con a lo sumo m pasos que las n piedras de cada color queden seguidas si:
- a) n es par,
- b) n es impar y k=3
Desigualdad con multiplicadores en {−1,1}
Sean x1,x2,…,xn números reales positivos. Demostrar que existen a1,a2,…,an∈{−1,1} tales que a1x21+a2x22+…+anx2n≥(a1x1+a2x2+…+anxn)2
Ortocentro de un acutángulo
Sea ABC un triángulo acutángulo con AC≠BC, y sea O su circuncentro. Sean P y Q puntos tales que BOAP y COPQ son paralelogramos. Demostrar que Q es ortocentro de ABC.
Triángulo con incírculo y tres circunferencias más
Sea ABC un triángulo y sean X,Y,Z los puntos de tangencia de su incírculo con los lados BC,CA,AB, respectivamente. Suponga que C1,C2,C3 son circunferencias con cuerdas XY,ZX,YZ, respectivamente, tales que C1 y C2 se cortan sobre la recta CZ y que C1 y C3 se corten sobre la recta BY. Suponga que C1 corta a las cuerdas XY y ZX en J y M, respectivamente; que C2 corta a las cuerdas YZ y XY en L e I, respectivamente; y que C3 corta a las cuerdas YZ y ZX en K y N, respectivamente. Demostrar que I,J,K,L,M,N están sobre una misma circunferencia.
Ecuación de inversos OIM 2011
Encontrar todos los enteros positivos n para los cuales existen tres enteros no nulos x,y,z tales que x+y+z=0 y 1x+1y+1z=1n
Por 2, por 3 o más uno
En la pizarra está escrito el número 2. Ana y Bruno juegan alternadamente, comenzando por Ana. Cada uno en su turno sustituye el número escrito por el que se obtiene de aplicar exactamente una de las siguiente operaciones: multiplicarlo por 2 o multiplicarlo por 3 o sumarle 1. El primero que obtenga un resultado mayor o igual a 2011 gana. Decidir quién tiene una estrategia ganadora y describirla.
Mesa redonda con vasijas y personas
Alrededor de una mesa redonda hay 12 personas, y sobre la mesa hay 28 vasijas. Una persona puede ver a otra si y sólo si no hay ninguna vasija alineada con ellos. Demostrar que hay por lo menos dos personas que se pueden ver la una a la otra.
Colinealidad en configuración de cíclico con ortodiagonales
Sea ABCD un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales AC y BD son perpendiculares. Sean O el circuncentro de ABC, K el punto de intersección de las diagonales, L≠O el punto de intersección de las circunferencias circunscritas a OAC y OBD, y G el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de los lados de ABCD. Demostrar que O,K,L,G están alineados.
