Publicaciones Recientes
P4. OMM 1993. Recurrencia en dos variables
Para cualquier número entero $n>0$, se define:
1. $f(n, 0) = 1$ y $f(n, n) = 1$
2. $f(n, k) = f(n - 1, k - 1) + f(n - 1, k)$ para $0<k<n$.
¿Cuántos cálculos se tienen que hacer para encontrar el valor de $f(3991, 1993)$,
sin contar aquellos de la forma $f(n, 0)$ y $f(n, n)$?
P2. OMM 1993. La suma de los cubos de sus 3 cifras...
Encuentre los números de tres cifras tales que la suma de los cubos de éstas es igual al número.
P1. OMM 1993. Triángulos en los catetos
Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $A$. Se construyen exteriormente
a este triángulo los triángulos rectángulos isósceles $AEC$ y $ADB$ con
hipotenusas $AC$ y $AB$, respectivamente. Sea $O$ el punto medio de $BC$
y sean $E'$ y $D'$ los puntos de intersección de $OE$ y $OD$ con $DB$ y $EC$
respectivamente. Calcule el área del cuadrilátero $DED'E'$ en función de
los lados del triángulo $ABC$.
P6 OMM 1992. Muchas preguntas con un rectángulo
Sea $ABCD$ un rectángulo. Sean $I$ el punto medio de $CD$ y $M$ la intersección de $BI$ con la diagonal $AC$.
- 1. Pruebe que $DM$ pasa por el punto medio de $BC$.
-
2. Sea $E$ el punto exterior al rectángulo tal que $ABE$ sea un triángulo
isósceles y rectángulo en $E$. Además, supongamos que $BC = BE = a$.
Pruebe que $ME$ es bisectriz del ángulo $AMB$. - 3. Calcule el área del cuadrilátero $AEBM$ en función de $A$.
P5 OMM 1992. Desigualdad con suma de radicales
Sean $x, y, z$ números reales positivos tales que $x + y + z = 3$. Si
$$S = \sqrt{2x + 3} + \sqrt{2y + 3} + \sqrt{2z + 3},$$
pruebe que $6 < S \leq 3\sqrt{5}$
P4 OMM 1992. Suma de potencias múltiplo de 100
Muestre que $100$ divide a la suma de potencias $$1+11^{11}+111^{111}+\ldots+1111111111^{1111111111}$$
P3 OMM 1992. Siete puntos en hexágono
Considere siete puntos dentro o sobre un hexágono regular y pruebe que
tres de ellos forman un triángulo cuya área es menor o igual que $\frac{1}{6}$ del
área del hexágono.
P2 OMM 1992. Cuartetas y múltiplos de un primo
Sea $p$ un número primo, diga cuántas cuartetas distintas $(a, b, c, d)$ existen, con a, b, c y d enteros y $0 \leq a, b, c, d \leq p-1$, tales que $ad - bc$ sea múltiplo de $p$.
P1 OMM 1992. Tetraedro isósceles
Un tetraedro $OPQR$ es tal que los ángulos $POQ, POR$ y $QOR$ son rectos. Muestre que si $X, Y, Z$ son los puntos medios de $PQ, QR$ y $RP$, respectivamente, entonces el tetraedro $OXYZ$ es isósceles, es decir, tiene sus 4 caras iguales.
P6 OMM 1991. Triángulos en un polígono
En un polígono de $ n $ lados, ($n \geq 4$) se considera una familia $T$ de triángulos, formados con los vértices del polígono, con la propiedad de que cada dos triángulos de la familia cumple alguna de las siguientes dos condiciones:
– No tienen dos vértices en común.
– Tienen dos vértices en común.
Demuestre que $T$ tiene a lo más $ n $ triángulos.
