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Ejercicio 3.3.9
Sean π1,π2,π3,π4,π5,π6 tres planos en un espacio proyectivo tridimensional de tal manera que cada uno de los siguientes conjuntos de tres planos tienen una línea común de intersección:
{π1,π2,π3},{π1,π4,π5},{π3,π5,π6},{π2,π4,π6}
Más aun, no cuatro de éstos planos tienen una línea común.
Prueba que los seis planos tienen un punto en común.
Ejercicio 3.3.12
Demuestra lo siguiente sobre planos afines:
Ejercicio 3.3.6
Supon que el teorema de Desargues es válido en un cierto plano proyectivo P. Prueba que su converso también será válido sin utilizar el Principio de Dualidad.
Ejercicio 3.3.1
Considera la tripleta (P,L,I) con P={1,2,3,4}, L={a,b,c,d,e,f} y I={(1,a),(2,a),(3,b),(4,b),(1,c),(3,c),(2,d),(4,d),(1,e),(4,e),(2,f),(3,f)}.
- Dibuja un diagrama de esta tripleta.
- Verifica que esta tripleta satisface únicamente dos de los axiomas de plano proyectivo.
Ejercicio 3.2
Sea π un plano proyectivo. Usa la definición 3.11(la definición de espacio proyectivo pero simplificada) para probar que:
P3'. Existe almenos tres líneas no concurrentes en π.
P4'. Exiten almenos tres líneas que pasan por cualquier punto en π.
Deduce que el principio de dualidad es válido en un plano proyectivo.
Ejercicio 3.1.7
Demuestra que para cuales quiera Sr y Sn espacios proyectivos, el espacio Sr⊕Sn está formado por aquellos (y sólo aquellos) puntos que se encuentran sobre un línea que une un punto de Sr y uno de Sn
Magia con matemáticas
Sea K un entero positivo de n cifras y S la suma de todas las cifras de K. Demuestra que K menos S es múltiplo de 9 para todo n, con n mayor o igual a 2.
Reencuentro con un problema de combinatoria (viejo y sin solución)
Voy a comentar en este post el problema denominado en MaTeTaM "Clave secreta". Este problema lo subí a MaTeTaM en julio del 2008 (de acuerdo a los datos registrados), y la verdad no sé de dónde lo saqué ni por qué no incluí la solución o si ésta se perdió en alguna de las migraciones que ha hecho MaTeTaM de un software a otro. Me imagino que el problema se incluyó en uno de los selectivos aplicados a la preselección olímpica Tamaulipas 2008.
El enunciado del problema es el siguiente:
Ejercicio 3.1.2
Hey, que tal! ! ! En el problema 3.1.2 sobre los planos oblicuos en S4, nos dice que los planos (pi), (alfa) y (beta) son mutuamente oblícuos.
Examen ENLACE: algunas características distintivas de sus preguntas
Voy enseguida a comentar las 4 preguntas del quiz de preguntas del examen ENLACE que está disponible en MaTeTaM. Las preguntas de este quiz están tomadas directamente del generador de preguntas del examen ENLACE que está disponible en el sitio de la Dirección General de Políticas de la SEP. (Este generador de preguntas del examen ENLACE pesa 200Mb y hay que instalarlo en la PC.) Las preguntas del quiz son entonces preguntas auténticas del examen ENLACE.
Con la finalidad de que al lector le haga más sentido este post tiene que entrar a ver y resolver el quiz de preguntas del examen ENLACE. (Si así lo desea puede cliquear en el icono de la impresora --arriba a la derecha de la página del quiz-- para obtener la versión para imprimir.) Las 4 preguntas son elementales pero... bueno que cada quien juzgue según su puntaje obtenido...
