Publicaciones Recientes
Punto de corte de un conjunto de puntos
Para un conjunto H de puntos en el plano, se dice que un punto P del plano es un punto de corte de H si existen cuatro puntos distintos A,B,C,D en H tales que las rectas AB y CD son distintas y se cortan en P.
Dado un conjunto finito A0 de puntos en el plano, se construye una sucesión de conjuntos A1,A2,A3,… de la siguiente manera: para cualquier j≥0 , Aj+1 es la unión de Aj con el conjunto de todos los puntos de corte de Aj.
Demostrar que si la unión de todos los conjuntos de la sucesión es un conjunto finito,
entonces para cualquier j≥1 se tiene que Aj=A1.
Bisectrices y mediatrices de un escaleno
Dado un triángulo escaleno ABC, sean A′,B′ y C′ los puntos de intersección de las bisectrices interiores de los ángulos A,B y C con los lados opuestos, respectivamente. Sean A″ la intersección de BC con la mediatriz de AA′, B″ la intersección de AC con la mediatriz de BB′ y C″ la intersección de AB con la mediatriz de CC′. Probar que A″,B″ y C″ son colineales.
Cuadrados perfectos formados con dos números
Determinar todas las parejas (a,b), donde a y b son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que 100a+b y 201a+b son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.
Igualdad de múltiplos comunes mínimos
Sean n y k enteros positivos tales que o bien n es impar o bien n y k son pares. Probar que existen enteros a y b tales que mcd(a,n)=mcd(b,n)=1,k=a+b.
Lugar geométrico de centros de circunferencias
Se considera en el plano una circunferencia de centro O y radio r y un punto A exterior a ella. Sea M un punto de la circunferencia y N el punto diametralmente opuesto a M. Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por A,M y N al variar M.
Condiciones de coloreo de un tablero
Se deben colorear casillas de un tablero de 1001×1001 de acuerdo a las reglas siguientes:
- Si dos casillas tienen un lado común, entonces al menos una de ellas se debe colorear.
- De cada seis casillas consecutivas de una fila o de una columna, siempre se deben colorear al menos dos de ellas que sean adyacentes.
Determinar el número mínimo de casillas que se deben colorear.
Ningún término es múltiplo de 2003
Se definen las sucesiones (an)n≥0,(bn)n≥0 de la siguiente manera:
a0=1,b0=4 y, para toda n≥0, an+1=a2001n+bn,bn+1=b2001n+an Demuestre que 2003 no divide a ninguno de los términos de estas sucesiones.
Triángulo en un cuadrado
En el cuadrado ABCD, sean P y Q puntos pertenecientes a los lados BC y CD respectivamente, distintos de los extremos, tales que BP=CQ. Conside los puntos X,Y, con X≠Y, pertenecientes a los segmentos AP,AQ, respectivamente. Demuestre que, cualesquiera que sean X y Y, existe un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos BX,XY y DY.
k-Subconjunto sin seis consecutivos
Sea M={1,2,…,49} el conjunto de los primeros 49 enteros positivos. Determine el máximo entero k tal que el conjunto M tiene un subconjunto de k elementos en el que no hay 6 números consecutivos. Para ese valor máximo de k, halle la cantidad de subconjuntos de M, de k elementos, que tienen la propiedad mencionada.
Inferencias a partir de datos incompletos
Pablo estaba copiando el siguiente problema:
Considere todas las sucesiones de 2004 números reales (x0,x1,x2,…,x2003), tales que x0=10≤x1≤2x0,0≤x2≤2x1,⋮0≤x2003≤2x2002.
Entre todas estas sucesiones, determine aquella para la cual la siguiente
expresión toma su mayor valor: S=….
