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Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que o bien $n$ es impar o bien $n$ y $k$ son pares. Probar que existen enteros $a$ y $b$ tales que   $$mcd (a, n) = mcd (b, n) = 1, k = a + b.$$

Se deben colorear casillas de un tablero de $1001\times 1001$ de acuerdo a las reglas siguientes:

• Si dos casillas tienen un lado común, entonces al menos una de ellas se debe colorear.
• De cada seis casillas consecutivas de una fila o de una columna, siempre se deben colorear al menos dos de ellas que sean adyacentes.

Determinar el número mínimo de casillas que se deben colorear.

En el cuadrado $ABCD$, sean $P$ y $Q$ puntos pertenecientes a los lados $BC$ y $CD$  respectivamente, distintos de los extremos, tales que $BP=CQ$. Conside los puntos $X, Y$, con $X\neq Y$, pertenecientes a los segmentos $AP, AQ$, respectivamente. Demuestre que, cualesquiera que sean $X$ y $Y$, existe un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos $BX, XY$ y $DY$.

Pablo estaba copiando el siguiente problema: 

Considere todas las sucesiones de 2004 números reales $(x_0,x_1,x_2,\ldots,x_{2003}),$  tales que $$\begin{eqnarray} x_0 &=&1\\ 0\leq& x_1&\leq 2x_0,\\ 0\leq &x_2&\leq 2x_1,\\ &\vdots&\\ 0\leq &x_{2003}&\leq 2x_{2002}.\end{eqnarray}$$
Entre todas estas sucesiones, determine aquella para la cual la siguiente
expresión toma su mayor valor: $S =\ldots$.