Publicaciones Recientes
¿Puedes maliciar que es suma de dos cuadrados?
Sea $P(X,Y) = 2X^2 - 6XY + 5Y^2$. Diremos que un número entero $A$ es un valor de $P$ si existen números enteros $B$ y $C$ tales que $A = P(B,C)$.
- i) Determinar cuántos elementos de $\{1, 2, 3, ... ,100\}$ son valores de $P$.
- ii) Probar que el producto de valores de $P$ es un valor de $P$.
Combinatoria con números de 3 cifras distintas elegidas de entre 5
Encontrar un número $N$ de cinco cifras diferentes y no nulas, que sea igual a la suma de todos los números de tres cifras distintas que se pueden formar con las cinco cifras de $N$.
Función creciente en [0,1]
Sea $F$ una función creciente definida para todo número real $x$, $0\leq x \leq 1, tal que:
- (a) $F(0) = 0$
- (b) $F(x/3) = F(x)/2$
- (c) $F(1-x) = 1 - F(x)$
Encontrar $F(18/1991)$
Dos perpendiculares seccionan un cuadrado
Dos rectas perpendiculares dividen un cuadrado en cuatro partes, tres de las cuales tienen cada una área igual a 1. Demostrar que el área del cuadrado es cuatro.
Sumas de 14 más menos unos
A cada vértice de un cubo se asigna el valor de +1 o -1, y a cada cara el producto de los valores asignados a cada vértice. ¿Qué valores puede tomar la suma de los 14 números así obtenidos?
Propiedad de un polinomio cúbico
Sea $f(x)$ un polinomio de grado 3 con coeficientes racionales. Probar que si el gráfico de $f$ es tangente al eje $x$, entonces $f(x)$ tiene sus 3 raíces racionales.
Recorridos en un tablero
Sean $A$ y $B$ vértices opuestos de un tablero cuadriculado de $n$ por $n$ casillas ($n\geq 1$), a cada una de las cuales se añade su diagonal de dirección $AB$, formándose así $2n^2$ triángulos iguales. Se mueve una ficha recorriendo un camino que va desde $A$ hasta $B$ formado por segmentos del tablero, y se coloca, cada vez que se recorre, una semilla en cada uno de los triángulos que admite ese segmento como lado.
¿Cómo se demuestra circunferencia ortogonal?
Sean $C_1$ una circunferencia, $AB$ uno de sus diámetros, $t$ su tangente en $B$, y $M$ un punto de $C_1$ distinto de $A$. Se construye una circunferencia $C_2$ tangente a $C_1$ en $M$ y a la recta $t$.
- a) Determinar el punto $P$ de tangencia de $t$ y $C_2$ y hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias al variar $M$.
- b) Demostrar que existe una circunferencia ortogonal a todas las circunferencias $C_2$.
NOTA: Dos circunferencias son ortogonales si se cortan y las tangentes respectivas en los puntos de intersección son perpendiculares.
Divisibilidad de un polinomio
Sea $f(x) = (x + b)^2 - c$, un polinomio con $b$ y $c$ números enteros.
- a) Si $p$ es un número primo tal que $p$ divide a $c$ y $p^2$ no divide a $c$, demostrar que, cualquiera que sea el número entero $n$, $p^2$ no divide a $f(n)$.
- b) Sea $q$ un número primo, distinto de 2, que divide a $c$. Si $q$ divide a $f(n)$ para algún número entero $n$, demostrar que para cada entero positivo $r$ existe un número entero $n'$ tal que $q^r$ divide a $f(n')$.
Criterio de potencia para cíclico
En un triángulo $ABC$, sean $I$ el centro de la circunferencia inscrita y $D, E$ y $F$ sus puntos de tangencia con los lados $BC, AC$ y $AB$, respectivamente. Sea $P$ el otro punto de intersección de la recta $AD$ con la circunferencia inscrita. Si $M$ es el punto medio de $EF$, demostrar que los cuatro puntos $P, I, M$ y $D$ pertenecen a una misma circunferencia.
