Publicaciones Recientes

Problema

Sin polinomios simétricos inútil es intentarlo

Enviado por jmd el 2 de Enero de 2010 - 12:34.

Demostrar que para $a,b,c$ reales no nulos tales que $a+b+c=0$ se cumple la identidad

$$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\cdot \frac{a^7+b^7+c^7}{7} = \Big( \frac{a^5+b^5+c^5}{5} \Big) ^2=$$

Problema

El fácil de la IMO 1961

Enviado por jmd el 2 de Enero de 2010 - 08:05.

Resolver el sistema de ecuaciones (donde $a,b$ son constantes):

x+y+z&=a\\ x^2+y^2+z^2&=b^2\\ xy&=z^2

Dar, además, las condiciones que deben satisfacer $a,b$ para que las soluciones del sistema $x,y,z$ sean números positivos distintos.

Problema

Polinomios simétricos: instancia de uso

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2010 - 13:43.

Sean $a,b,c$ números reales distintos de cero y tales que $a+b+c=0$ y $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$. Demostrar que $a^2+b^2+c^2=\frac{6}{5}$

Problema

Identidad de Gauss

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2010 - 12:44.

a) Demostrar la identidad algebraica $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

b) Demostrar la identidad $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$

c) Usar el resultados del inciso anterior para demostrar que si $a,b,c$ son reales positivos entonces se cumple la desigualdad  $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq 0$

Problema

Polinomios simétricos en tres variables: resultado fundamental

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2010 - 10:47.

Sea $ n $ un entero no negativo y $x,y,z$ números reales.  Con la notación usual, defínanse los polinomios simétricos elementales en tres variables como $\sigma_1=x+y+z,~\sigma_2=xy+yz+zx, ~\sigma_3=xyz$  y $S_n=x^n+y^n+z^n$.

Demostrar:

a) $S_n=\sigma_1\cdot S_{n-1}-\sigma_2\cdot S_{n-2}+\sigma_3\cdot S_{n-3}$, para $n\geq3$

Problema

Polinomios simétricos en dos variables: resultado fundamental

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2010 - 10:26.

Sea $ n $ un entero no negativo y $a,b$ números reales.

a)Demostrar la identidad $$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+b^{n-2})$$

Noticia

Instrucciones de armado del Calendario MaTeTaM 2010

Enviado por vmp el 29 de Diciembre de 2009 - 03:45.

Aquí les dejamos un video con las instrucciones de armado del calendario dodecaédrico 2010. MaTeTaM les desea Feliz Año Nuevo. Esperamos que pasen un buen rato armando su dodecaedro con papiroflexia (origami).

El calendario quedará así

Problema

Ejercicios sobre inducción matemática

Enviado por jmd el 28 de Diciembre de 2009 - 21:37.

El n-ésimo número triangular $T_{n}$ se define como la suma de los primeros $ n $ enteros.

Problema

¿Tantos? ¡Qué desorden!

Enviado por jmd el 28 de Diciembre de 2009 - 09:39.

 

Problema

¿Quién tiene más?

Enviado por jmd el 28 de Diciembre de 2009 - 09:20.

Dos vecinos juegan al "quién tiene más" (en varilla para la construcción):

A: Yo tengo 40 y tú 30.

B: Sí, pero las mías miden 4 metros más que las tuyas.

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