Publicaciones Recientes
Preselección Tamaulipas de la XXIII OMM --a un mes del concurso nacional
Como resultado del puntaje obtenido en la X Olimpiada Norestense de Matemáticas, y los puntajes obtenidos en los entrenamientos previos, los 10 adolescentes de la siguiente lista se mantienen en la lucha para asistir al concurso nacional de la XXIII Olimpiada Mexicana de Matemáticas que se realizará en Ensenada en noviembre próximo.
La amistad es una relación simétrica
En un grupo de personas, cada dos de ellas tiene exactamente un amigo en común en el grupo. Prueba que hay una persona que es amiga de todas las demás personas en el grupo. (Nota: la amistad es mutua, es decir, si X es amigo de Y, entonces Y es amigo de X.)
Incentro y bisectrices
En el triángulo $ABC$, el ángulo $BAC$ mide 60 grados. La bisectriz del ángulo $ABC$ corta al lado $AC$ en $X$ y la bisectriz del ángulo $BCA$ corta al lado $AB$ en $Y$. Demuestra que si $I$ es el incentro del triángulo $ABC$, entonces $IX=IY$
Fracción con mínimo denominador
De todas las fracciones $\frac{x}{y}$ que cumplen $$\frac{41}{2010}<\frac{x}{y}<\frac{1}{49}$$ encuentra la que tenga menor denominador.
Seccionado recursivo
Sofía tiene 5 pedazos de papel en una mesa. Toma algunos de los pedazos, corta cada uno en 5 pedacitos y los vuelve a poner en la mesa. Ella repite este procedimiento varias veces hasta que se cansa. ¿Podría Sofía llegar a tener 2010 pedazos al final en la mesa?
Ecuación lineal en una variable módulo m
Pare motivar la definición que veremos más adelante resolvamos primero los siguientes problema ejemplos.
Problema 1. Encuentra los números $x$ que satisfacen la congruencia $2x \equiv 1 \pmod{5}$.
Solución. Como sabemos $x \equiv 0,1,2,3 \textrm{ o } 4 \pmod{5}$ para cualquier número $x$. Entonces, al multiplicar por 2 obtenemos que $2x \equiv 0, 2,4,1 \textrm{ o } 3 \pmod {5}$, en consecuencia, sólo cuando $x \equiv 3 \pmod{5}$ se satisfacerá la congruencia $2x \equiv 1 \pmod{5}$. Esto nos determina por completo las soluciones, que serán los números $x$ que dejan residuo 3 al dividirse entre 5.
Criterios de divisibilidad entre 9 y 11
Una aplicación clásica de los módulos es en la prueba de los criterios de divisibilidad, y en particular en la prueba de los criterio del 9 y del 11.
Notación decimal
Bueno, para entender con exactitud los criterios de divisibilidad hay que recordar el significado de la notación decimal que usamos hoy en día. Que no es más que la notación decimal es posicional y de base 10. Esto se ve en la secundaria (y también algo en la primaria), para los que no se acuerden, esto significa únicamente que, por ejemplo, $$2457 = 2 \times 10 ^3 + 4 \times 10^2 + 5 \times 10 +7$$
En términos más abstractos, pero es exactamente lo mismo, se dice así:
Consecuencias inmediatas de las propiedades de congruencia
Algunas consecuencias inmediatas de la preservación de la suma y del producto en las congruencias son las siguientes tres:
Sumar una constante
$a \equiv b \pmod{m}$ implica que $a + c \equiv b+c \pmod{m}$ para cualquier entero $c$.
Esto es evidentemente cierto, pues $c \equiv c \pmod{m}$ (propiedad reflexiva), y por la preservación de la suma llegamos al resultado.
Multiplicar por una constante
$a \equiv b \pmod{m}$ implica que $c\cdot a \equiv c \cdot b \pmod{m}$ para cualquier entero $c$.
Es igual de evidente que la anterior, se usa la propiedad reflexiva junto con la preservación del producto.
La dialéctica entre técnica y teoría
La dialéctica es un método de razonamiento que se basa en la contradicción: cada afirmación (tesis) tiene una antítesis que la contradice; y del enfrentamiento entre ambas surge una síntesis que elimina la contradicción (y la síntesis se convierte en la nueva tesis que encontrará su antítesis, etc.)
19 números en un tablero circular
En un tablero circular hay 19 casillas numeradas en orden del 1 al 19 (a la derecha del 1 está el 2, a la derecha de éste está el 3 y así sucesivamente, hasta el 1 que está a la derecha del 19). En cada casilla hay una ficha. Cada minuto cada ficha se mueve a su derecha el número de la casilla en que se encuentra en ese momento más una; por ejemplo, la ficha que está en el lugar 7 se va el primer minuto 7 + 1 lugares a su derecha hasta la casilla 15; el segundo minuto esa misma ficha se mueve a su derecha 15 + 1 lugares, hasta la casilla 12, etc. Determinar si en algún momento todas las fichas llegan al lugar donde empezaron y, si es así, decir cuántos minutos deben transcurrir.
