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Concurrencia en configuración de in y circuncírculos
Sea Γ el incírculo de un triángulo escaleno ABC, que es tangente a los lados BC,CA,AB en los puntos D,E,F respectivamente. Las rectas EF y BC se cortan en G. La circunferencia de diámetro GD corta a Γ por segunda vez en R. Sean P y Q los puntos de intersección (distintos de R) de Γ con BR y CR, respectivamente. Las rectas BQ y CP se cortan en X, el circuncírculo de CDE corta a QR en M y el circuncírculo de BDF corta a PR en N. Demostrar que PM,QN y RX son concurrentes.
Sucesión en enteros indecisa
Decidir si existen enteros positivos a y b tales que todos los términos de la sucesión (Xn), definida como X1=2010,X2=2011, Xn+2=Xn+Xn+1+a√XnXn+1+b son números enteros.
Diez monedas, dos preguntas
Se tienen diez monedas indistinguibles en hilera. Se sabe que dos de ellas son falsas y están en posiciones consecutivas en la hilera. Una pregunta consiste en elegir un subconjunto cualquiera de las monedas y preguntar cuántas de ellas son falsas. Decidir si es posible identificar con certeza las monedas falsas haciendo solamente dos preguntas, sin conocer la respuesta de la primera antes de formular la segunda.
Números racionales!!!
Demuestra que la suma de las raíces cuadradas de 2 y 3 suman un número irracional. Esto es, √2+√3 es irracional.
El juego de biribol
En un partido de biribol se enfrentan dos equipos de cuatro jugadores cada uno. Se organiza un torneo de biribol en el que participan n personas, que forman equipos para cada partido (los equipos no son fijos). Al final del torneo se observó que cada dos personas disputaron exactamente un partido en equipos rivales. Determinar para qué valores de n es posible organizar un torneo con tales características.
Desigualdad con áreas de dos triángulos
Sean ABC un triángulo y X,Y,Z puntos interiores de los lados BC,CA,AB respectivamente. Sean A′,B′,C′ los circuncentros correspondientes a los triángulos AZY,BXZ,CYX, respectivamente. Demuestre que:
(A′B′C′)≥(ABC)/4
y que la igualdad ocurre si y sólo si AA′,BB′ y CC′ son concurrentes.
Nota: Para un triángulo cualquiera RST, denotamos su área con (RST).
Ecuación sin soluciones enteras
Pruebe que la ecuación x2008+2008!=21y no tiene soluciones enteras (x,y)
Divisibilidad en un polinomio cúbico
Sean m y n números enteros tales que el polinomio P(x)=x3+mx+n tiene la siguiente propiedad: si x y y son enteros y 107 divide a P(x)−P(y), entonces 107 divide a x−y. Demuestre que divide a 107 divide a m.
Bisectriz externa en un escaleno
Sean ABC un triángulo escaleno y l la bisectriz exterior del ∠ABC. Sean P y Q los pies de las perpendiculares a la recta l que pasan por A y C, respectivamente. Sean M y N las intersecciones de CP y AB y AQ y BC, respectivamente. Pruebe que las rectas AC,MN y l tienen un punto en común.
Suma de max-min diferencias
Considere los números 1,2,3,…,20082 distribuidos en un tablero de 2008×2008, de modo que en cada casilla haya un número distinto. Para cada fila y cada columna del tablero se calcula la diferencia entre el mayor y el menor de sus elementos. Sea S la suma de los 4016 números obtenidos. Determine el mayor valor posible de S.
