Publicaciones Recientes

Problema

Triángulo rectángulo

Enviado por jmd el 12 de Abril de 2011 - 18:16.

El área de un triángulo rectángulo es 150 unidades, y la altura perpendicular a la hipotenusa mide 12. Calcular la longitud de sus lados.

Entrada de blog

Ficciones matemáticas

Enviado por jmd el 11 de Abril de 2011 - 08:03.

El concepto y la palabra ficción proviene del latín: fictus=fingido, inventado. Está asociado al de mímesis (imitación). En este sentido etimológico, entonces, una ficción es una imitación (o copia) de la realidad, o bien una realidad verosímil (que podría suceder) y que por tanto es posible. 

Problema

Demostrar que un cuadrilátero es paralelogramo (Problema 5, OIM)

Enviado por jesus el 10 de Abril de 2011 - 10:39.

En un triángulo acutángulo ABC sean AE y BF dos alturas, y sea H el ortocentro. La recta simétrica de AE respecto de la bisectriz (interior) del ángulo en A y la recta simétrica de BF respecto de la bisectriz (interior) del ángulo en B se intersecan en un punto O. Las rectas AE y AO cortan por segunda vez a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC en los puntos M y N, respectivamente.

Sean: P, la intersección de BC con HN; R, la intersección de BC con OM; y S, la intersección de HR con OP.

Demostrar que AHSO es un paralelogramo.

Problema

Tres circunferencias con un punto común. (Problema 2, OIM)

Enviado por jesus el 10 de Abril de 2011 - 09:34.

Con centro en el incentro I, de un triángulo ABC se traza una circunferencia que corta en dos puntos a cada uno de los tres lados del triángulo: al segmento BC en D y P (siendo D el más cercano a B); al segmento CA en E y Q (siendo E el más cercano a C), y al segmento AB en F y R (siendo F el más cercano a A).

Sea S el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero EQFR. Sea T el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero FRDP. Sea U el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero DPEQ.

Problema

Caracterización de enteros con parte entera (Problema 1, OIM)

Enviado por jesus el 10 de Abril de 2011 - 09:18.

Sea $r \geq 1$ un número real que cumple la siguiente propiedad:

Para cada pareja de números enteros positivos $m$ y $n$, con $n$ múltiplo de $m$, se tiene que $\lfloor nr \rfloor$ es múltiplo de $\lfloor mr \rfloor$.

Probar que $r$ es un numero entero.

Nota: Si $x$ es un numero real, denotamos por $\lfloor x \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x$.

Problema

Coloraciones de puntos en una cuadrícula (Problema 3, OIM)

Enviado por jesus el 7 de Abril de 2011 - 09:37.

Sean $n \geq 2$ un número entero y $D_n$ el conjunto de puntos $(x,y)$ del plano cuyas coordenadas son números enteros con $-n \leq x  \leq n $ y $-n \leq y \leq n$

Problema

Sucesión de cuadrados

Enviado por jmd el 6 de Abril de 2011 - 09:58.

 Demostrar que todos los números de la siguiente sucesión son cuadrados perfectos: 49, 4489,444889,...

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Construcción de las tangentes a un círculo que pasan por un punto dado

Enviado por jesus el 5 de Abril de 2011 - 12:48.

Esta construcción es algo complicada para ser creada por los alumnos pero es fácil de realizar. La explicación de por qué funciona requiere conocimientos de cuadriláteros cíclicos.

En la siguiente escena interactiva usa los botones ">>" y "<<" para ver paso a paso cómo se construyen las rectas tangentes a una circunferencia (de centro $O$) y que pasan por un punto dado (denotado con $A$).

 
Noticia

Concurso de Problemas para las Olimpiadas de Matemáticas

Enviado por jesus el 4 de Abril de 2011 - 16:31.

Ya salió la convocatoria para el concurso de problemas de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.

Esta es la información que nos llegó.

Problema

Un problema de cálculo

Enviado por jmd el 4 de Abril de 2011 - 07:11.

 Dada la función $f(x)=1/x$, considere un punto $P$ en la gráfica de la función (en el primer cuadrante). La tangente en $P$ forma un triángulo rectángulo con los ejes al intersecarlos. Calcular las coordenadas de $P$, para las cuales la hipotenusa de ese triángulo tiene longitud mínima/máxima.

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