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Enseguida enlisto los seleccionados de las regiones norte y centro de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, Tamaulipas 2010. El examen consistió de tres problemas con un valor de 7 puntos cada uno.

El triángulo ABC es rectángulo en C, y las bisectrices de sus ángulos en A y B cortan los lados BC y CA en P y Q respectivamente. Los puntos M y N sobre el lado AB son los pies de las perpendiculares bajadas desde P y Q, respectivamente. ¿Cuánto vale el ángulo MCN?
 

Sea $S$ el conjunto de puntos $(i,j)$ de coordenadas enteras en el plano, con $i,j=0,1,2,\ldots,n$.

• a) ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro puntos de $S$ de manera que formen un cuadrado con lados paralelos a los ejes de coordenadas?
• b) ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro puntos en $S$ de manera que formen un cuadrado?

Claudia Lorena de la selección Victoria obtuvo plata en la décima Olimpiada Nacional de Matemáticas para Alumnos de Secundaria (ONMAS) que se llevó a cabo en Chiapas durante el puente de la Batalla de Puebla. Un poco tardía la noticia, pero creo que los problemas son útiles de cualquier manera para los adolescentes interesados en los matemáticas de concurso.  Enseguida presento los de tercero de secundaria.

1. Un cubo de lado 3 se divide en 27 cubitos unitarios. ¿De cuántas formas podemos elegir tres cubitos de manera que sus centros estén en una misma recta? Nota: El centro de un cubito se localiza en el punto medio de una diagonal mayor.