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Suma de diferencias
Se consideran n números reales a1,a2,…,an no necesariamente distintos. Sea d la diferencia entre el mayor y el menor de ellos y sea s=∑i<j|ai−aj| Demuestre que (n−1)d≤s≤n2d/4 y determine las condiciones que deben cumplir estos n números para que se verifique cada una de las igualdades.
Incírculo y circuncírculo de un escaleno rectángulo
En el triángulo escaleno ABC, con ∠BAC=90, se consideran las circunferencias inscrita y circunscrita. La recta tangente en A a la circunferencia circunscrita corta a la recta BC en M. Sean S y R los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los catetos AC y AB, respectivamente. La recta RS corta a la recta BC en N. Las rectas AM y SR se cortan en U. Demuestre que el triángulo UMN es isósceles.
La recta pasa por el ortocentro
Sea O el circuncentro de un triángulo acutángulo ABC y A1 un punto en el
arco menor BC de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. Sean A2 y
A3 puntos en los lados AB y AC respectivamente, tales que ∠BA1A2=∠OAC y ∠CA1A3=∠OAB. Demuestre que la recta A2A3 pasa por el ortocentro del triángulo ABC.
Coloreo roji-azul de 2n puntos alineados
Dado un entero positivo n, en un plano se consideran 2n puntos alineados A1,A2,…,A2n. Cada punto se colorea de azul o rojo mediante el siguiente procedimiento:
- En el plano dado se trazan n circunferencias con diámetros de extremos Ai y Aj , disyuntas dos a dos.
- Cada Ak,1≤k≤2n, pertenece exactamente a una circunferencia.
- Se colorean los puntos de modo que los dos puntos de una misma
circunferencia lleven el mismo color.
Determine cuántas coloraciones distintas de los 2n puntos se pueden obtener al variar las n circunferencias y la distribución de los dos colores.
Operación residual sobre dos enteros positivos
Dados dos enteros positivos a y b, se denota por (a∇b) al residuo que se obtiene al dividir a entre b. Este residuo es uno de los números 0,1,…,b−1. Encuentre todas las parejas de números (a,p) tales que p es primo y se cumple que (a∇p)+(a∇2p)+(a∇3p)+(a∇4p)=a+p.
Ecuación de inversos
Sea p>3 un número primo. Si 11p+12p+13p+…+1(p−1)p=nm donde el máximo común divisor de n y m es 1. Demuestre que p3 divide a n.
Pulga saltona --en la recta numérica
Una pulga salta sobre puntos enteros de la recta numérica. En su primer movimiento
salta desde el punto 0 y cae en el punto 1. Luego, si en un movimiento la pulga saltó desde el punto a y cayó en el punto b, en el siguiente movimiento salta desde el punto b y cae en uno de los puntos b+(b−a)−1,b+(b−a),b+(b−a)+1.
Demuestre que si la pulga ha caído dos veces sobre el punto n, para n entero
positivo, entonces ha debido hacer al menos t movimientos, donde t es el menor
entero mayor o igual que 2√n.
Sistema de ecuaciones
Determine todas las ternas de números reales (x,y,z) que satisfacen el siguiente
sistema de ecuaciones:
xyz=8,
x2y+y2z+z2x=73,
x(y−z)2+y(z−x)2+z(x−y)2=98.
Punto de corte de un conjunto de puntos
Para un conjunto H de puntos en el plano, se dice que un punto P del plano es un punto de corte de H si existen cuatro puntos distintos A,B,C,D en H tales que las rectas AB y CD son distintas y se cortan en P.
Dado un conjunto finito A0 de puntos en el plano, se construye una sucesión de conjuntos A1,A2,A3,… de la siguiente manera: para cualquier j≥0 , Aj+1 es la unión de Aj con el conjunto de todos los puntos de corte de Aj.
Demostrar que si la unión de todos los conjuntos de la sucesión es un conjunto finito,
entonces para cualquier j≥1 se tiene que Aj=A1.
Bisectrices y mediatrices de un escaleno
Dado un triángulo escaleno ABC, sean A′,B′ y C′ los puntos de intersección de las bisectrices interiores de los ángulos A,B y C con los lados opuestos, respectivamente. Sean A″ la intersección de BC con la mediatriz de AA′, B″ la intersección de AC con la mediatriz de BB′ y C″ la intersección de AB con la mediatriz de CC′. Probar que A″,B″ y C″ son colineales.