Publicaciones Recientes

Problema

6.- Punto ideal de semejanza

Enviado por Samuel Elias el 21 de Noviembre de 2022 - 13:57.

Encuentra todos los $n \geq 3$ , tales que existe un polígon convexo de $n$ lados $A_1A_2 \dots A_n$ , que tenga las siguientes características:

todos los ángulos internos de $A_1A_2 \dots A_n$ son iguales
no todos los lados de $A_1A_2 \dots A_n$ son iguales
existe un triángulo $T$ y un punto $O$ en el interior de $A_1A_2 \dots A_n$ tal que los $n$ triángulos $OA_1A_2$ , $OA_2A_3$ , $\dots$ , $OA_{n-1}A_n$ son todos semejantes a $T$

NOTAS:

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5.- Borrando divisores de un pizarrón

Enviado por Samuel Elias el 21 de Noviembre de 2022 - 13:42.

Sea $n > 1$ un entero positivo y sean $d_1 < d_2 < ... < d_m$ sus $m$ enteros positivos de manera que $d_1 = 1$ y $d_m = n$ . Lalo escribe los siguientes $2m$ números en un pizarrón:

$d_1 , d_2 , ... , d_m , d_1 + d_2 , d_2 + d_3 , ... , d_{m-1} + d_m , N$

donde $N$ es un entero positivo. Después Lalo borra los números repetidos (por ejemplo, si un número repetido aparece 2 veces, el borrará uno de los dos). Después de esto, Lalo nota que los números en el pizarrón son precisamente la lista completa de divisores positivos de $N$ . Encuentra todos los posibles valores del entero positivo $n$ .

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4.- También arquitectos

Enviado por Samuel Elias el 21 de Noviembre de 2022 - 13:32.

Sea $n$ un entero positivo. En un jardín de $n \times n$ cuyos lados dan al Norte, Sur, Este y Oeste se va a construir una fuente usando plataformas de $1 \times 1$ que cubra todo el jardín.

Ana colocará las plataformas todas a diferente altura. Después, Beto pondrá salidas de agua en algunas de las plataformas.

El agua de cada plataforma puede bajar a las plataformas contiguas (hacia el Norte, Sur, Este y Oeste) que tengan menor altura que la plataforma de donde viene el agua, siguiendo su flujo siempre que pueda dirigirse a plataformas de menor altura. El objetivo de Beto es que el agua llegue a todas las plataformas.

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3.- Orquesta Matemática

Enviado por jesus el 18 de Noviembre de 2022 - 10:52.

Sea $n>1$ un entero y sea $d_1 < d_2 < \dots < d_m$ la lista completa de sus divisiores positivos, incluidos $1$ y $n$ . Los $m$ instrumentos de una orquesta matemática se disponen a tocar una pieza musical de $m$ segundos, donde el instrumento $i$ tocará una nota de tono $d_i$ durante $s_i$ segundos (no necesariamente consecutivos), donde $d_i$ y $s_i$ son enteros positivos. Decimos que esta pieza tiene sonoridad $S = s_1 + s_2 + \cdots + s_m$ .

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2.- Ataque de torres en un tablero cúbico.

Enviado por Samuel Elias el 12 de Noviembre de 2022 - 22:00.

Sea $n$ un entero positivo. David tiene 6 tableros de ajedrez de $n \times n$ que ha dispuesto de manera que formen las 6 caras de un cubo de $n \times n \times n$ . Se dice que dos casillas $a$ y $b$ de este nuevo tablero cúbico están alineadas si podemos conectarlas por medio de un camino de casillas $a = c_1, c_2, \dots, c_m = b$ de manera que cada pareja de casillas consecutivas en el camino comparten un lado, y los lados que la casilla $c_i$ comparte con sus vecinas son lados opuestos del cuadrado $c_i$ , para $i = 2, 3, \dots, m-1$ . Diremos que dos torres colocadas sobre el tablero se atacan; si las casillas que ocupan están alineadas. David coloca algunas torres sobre el tablero de forma que ninguna ataque a otra.

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1.- Números Tlahuicas

Enviado por Samuel Elias el 12 de Noviembre de 2022 - 21:31.

Un número $x$ es Tlahuica si existen números primos distintos $p_1, p_2 \dots, p_k$ tales que

$x= \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + ... + \frac{1}{p_k}$

Determina el mayor número Tlahuica que satisface las dos propiedades siguientes:

0 < x < 1
existe un número entero $0 < m \leq 2022$ tal que $mx$ es un entero.

Problema

El 6 del último selectivo 2022

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 07:57.

Se definen las sucesiones x_ny y_nmediante las siguientes reglas:

x₀= 2, x₁= 5, x_n+1= x_n + 2x_n-1
y₀ = 3, y₁ = 4, y_n+1 = y_n + 2y_n-1

Demuestra que no hay números que estén en ambas sucesiones.

Problema

Sin miedo al factorial

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 07:53.

Determina el menor entero positivo n tal que para todo entero positivo u se cumple que n + u! sea un número de al menos 4 divisores

Problema

Isósceles en 2 circunferencias de mismo radio

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 07:51.

Sean α y β dos circunferencias con el mismo radio. Dichas circunferencias se intersectan en puntos P y Q. Sea X un punto en α. La recta QX intersecta a β en un punto Z, de manera que Z queda entre X y Q. Demuestra que PX=PZ.

Problema

Paralelogramo con solo 3 vértices en una circunferencia

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 07:42.

Sea ABCD un paralelogramo. Sean K y L las intersecciones del circuncírculo de ABC con los lados AD y CD respectivamente. Sea M el punto medio del arco KL que no contiene a B. Demuestra que DM es perpendicular a AC.