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6.- Punto ideal de semejanza
Encuentra todos los n≥3, tales que existe un polígon convexo de n lados A1A2…An, que tenga las siguientes características:
- todos los ángulos internos de A1A2…An son iguales
- no todos los lados de A1A2…An son iguales
- existe un triángulo T y un punto O en el interior de A1A2…An tal que los n triángulos OA1A2, OA2A3, …, OAn−1An son todos semejantes a T
NOTAS:
5.- Borrando divisores de un pizarrón
Sea n>1 un entero positivo y sean d1<d2<...<dm sus m enteros positivos de manera que d1=1 y dm=n. Lalo escribe los siguientes 2m números en un pizarrón:
d1,d2,...,dm,d1+d2,d2+d3,...,dm−1+dm,N
donde N es un entero positivo. Después Lalo borra los números repetidos (por ejemplo, si un número repetido aparece 2 veces, el borrará uno de los dos). Después de esto, Lalo nota que los números en el pizarrón son precisamente la lista completa de divisores positivos de N. Encuentra todos los posibles valores del entero positivo n.
4.- También arquitectos
Sea n un entero positivo. En un jardín de n×n cuyos lados dan al Norte, Sur, Este y Oeste se va a construir una fuente usando plataformas de 1×1 que cubra todo el jardín.
Ana colocará las plataformas todas a diferente altura. Después, Beto pondrá salidas de agua en algunas de las plataformas.
El agua de cada plataforma puede bajar a las plataformas contiguas (hacia el Norte, Sur, Este y Oeste) que tengan menor altura que la plataforma de donde viene el agua, siguiendo su flujo siempre que pueda dirigirse a plataformas de menor altura. El objetivo de Beto es que el agua llegue a todas las plataformas.
3.- Orquesta Matemática
Sea n>1 un entero y sea d1<d2<⋯<dm la lista completa de sus divisiores positivos, incluidos 1 y n. Los m instrumentos de una orquesta matemática se disponen a tocar una pieza musical de m segundos, donde el instrumento i tocará una nota de tono di durante si segundos (no necesariamente consecutivos), donde di y si son enteros positivos. Decimos que esta pieza tiene sonoridad S=s1+s2+⋯+sm.
2.- Ataque de torres en un tablero cúbico.
Sea n un entero positivo. David tiene 6 tableros de ajedrez de n×n que ha dispuesto de manera que formen las 6 caras de un cubo de n×n×n. Se dice que dos casillas a y b de este nuevo tablero cúbico están alineadas si podemos conectarlas por medio de un camino de casillas a=c1,c2,…,cm=b de manera que cada pareja de casillas consecutivas en el camino comparten un lado, y los lados que la casilla ci comparte con sus vecinas son lados opuestos del cuadrado ci, para i=2,3,…,m−1. Diremos que dos torres colocadas sobre el tablero se atacan; si las casillas que ocupan están alineadas. David coloca algunas torres sobre el tablero de forma que ninguna ataque a otra.

1.- Números Tlahuicas
Un número x es Tlahuica si existen números primos distintos p1,p2…,pk tales que
x=1p1+1p2+...+1pkDetermina el mayor número Tlahuica que satisface las dos propiedades siguientes:
- 0 < x < 1
- existe un número entero 0<m≤2022 tal que mx es un entero.
El 6 del último selectivo 2022
Se definen las sucesiones xn y yn mediante las siguientes reglas:
- x0 = 2, x1 = 5, xn+1 = xn + 2xn-1
- y0 = 3, y1 = 4, yn+1 = yn + 2yn-1
Demuestra que no hay números que estén en ambas sucesiones.
Sin miedo al factorial
Determina el menor entero positivo n tal que para todo entero positivo u se cumple que n + u! sea un número de al menos 4 divisores
Isósceles en 2 circunferencias de mismo radio
Sean α y β dos circunferencias con el mismo radio. Dichas circunferencias se intersectan en puntos P y Q. Sea X un punto en α. La recta QX intersecta a β en un punto Z, de manera que Z queda entre X y Q. Demuestra que PX=PZ.
Paralelogramo con solo 3 vértices en una circunferencia
Sea ABCD un paralelogramo. Sean K y L las intersecciones del circuncírculo de ABC con los lados AD y CD respectivamente. Sea M el punto medio del arco KL que no contiene a B. Demuestra que DM es perpendicular a AC.
