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Selecciones Norte y Centro de la OMM Tamaulipas 2010
Enseguida enlisto los seleccionados de las regiones norte y centro de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, Tamaulipas 2010. El examen consistió de tres problemas con un valor de 7 puntos cada uno.
Coloración de vertices
Demuestra que una gráfica $G$ es bipartita si y sólo si su número cromático $\chi(G)$ es 2.
Encuentra el ángulo
El triángulo ABC es rectángulo en C, y las bisectrices de sus ángulos en A y B cortan los lados BC y CA en P y Q respectivamente. Los puntos M y N sobre el lado AB son los pies de las perpendiculares bajadas desde P y Q, respectivamente. ¿Cuánto vale el ángulo MCN?
Divisores de 6n
Sea $ n $ un entero positivo. Si $2n$ tiene 30 divisores positivos y $3n$ tiene 32 ¿Cuántos divisores tiene $6n$?
Cuadrados en el primer cuadrante
Sea $S$ el conjunto de puntos $(i,j)$ de coordenadas enteras en el plano, con $i,j=0,1,2,\ldots,n$.
- a) ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro puntos de $S$ de manera que formen un cuadrado con lados paralelos a los ejes de coordenadas?
- b) ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro puntos en $S$ de manera que formen un cuadrado?
Avisos de admisiones y pregunta a nuestros lectores. ¿Qué es un matemático?
Dado que se acerca el fin del año escolar y quienes egresan de bachillerato deben elegir carrera, MaTeTaM les avisa a quienes se interesen en ingresar a la Facultad de Ciencias de la UNAM que tienen hasta el 21 de mayo para registrarse por Internet. Favor de informarse en https://servicios.dgae.unam.mx/Junio2010/index.html
Olimpiada de Secundaria (ONMAS 2010)
Claudia Lorena de la selección Victoria obtuvo plata en la décima Olimpiada Nacional de Matemáticas para Alumnos de Secundaria (ONMAS) que se llevó a cabo en Chiapas durante el puente de la Batalla de Puebla. Un poco tardía la noticia, pero creo que los problemas son útiles de cualquier manera para los adolescentes interesados en los matemáticas de concurso. Enseguida presento los de tercero de secundaria.
1. Un cubo de lado 3 se divide en 27 cubitos unitarios. ¿De cuántas formas podemos elegir tres cubitos de manera que sus centros estén en una misma recta? Nota: El centro de un cubito se localiza en el punto medio de una diagonal mayor.
Sobre el significado de intuición
Hace algún tiempo escribí sobre la paradoja denominada de Monty Hall (Ver mi post Hagamos un trato.) Esa paradoja es paradoja precisamente porque la intuición falla en dar una solución correcta.
En lo que sigue, añado otras dos paradojas para demostrar la falibilidad de nuestra intuición. (Disclaimer: no es una tacha a la intuición, es solamente el reconocimiento de que puede fallar --"no la quiero perfecta, me basta con que funcione la mayoría de las veces")
Torres de Hanoi: un ejemplo de juego reglado
Las Torres de Hanoi es un acertijo matemático que consiste de tres postes y varios discos de diferente diámetro con un orificio central, de manera que se puedan ensartar en los postes. Es un juego reglado --muy útil para adquirir la disciplina de jugar de acuerdo a unas reglas... y para otras proficiencias en el problem solving.
Ptolomeo invisible
Se tiene inscrito en una circunferencia un 3n-agono regular, donde sus vertices son $A_{1},A_{2},...,A_{3n}$ Si se coloca un punto $P$ de manera arbitraria sobre sobre la circunferencia, y desde $P$ se trazan todas las rectas posible hacia todos los puntos $A_{i}$. Demostrar que: la suma de las n rectas trazadas mas grande, es igual a la suma de las 2n rectas mas pequeñas.
