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 1. Sean $AB$ un diámetro de una circunferencia con centro en $O$, y $C$ un punto sobre ella de manera tal que $OC$ y $AB$ son perpendiculares. Considere un punto $P$ sobre el arco $BC$. Sean $Q$ la intersección de las rectas $CP$ y $AB$, y $R$ la intersección de la recta $AP$ con la recta perpendicular a $AB$ que pasa por $Q$. Demostrar que $BQ = RQ$.

2. Determina el mayor entero positivo $n$ para el cual existe una reordenación $a,b,c,d$ de los números $3,6,9,12$ de manera que 
$$\sqrt[n]{3^a\times6^b\times9^c\times12^d}$$
es un entero.

 A petición del delegado Tamaulipas de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, se publican enseguida los resultados finales de los tres exámenes selectivos aplicados a los 25 seleccionados en la etapa estatal de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas (Delegación Tamaulipas) --celebrada el día 9 de septiembre de 2011 en las instalaciones de la UAMCEH-UAT.

Los 15 alumnos de mayor puntuación participarán en la Olimpiada Norestense de Matemáticas que se efectuará los días 20, 21 y 22 de octubre de 2011 en la ciudad de Saltullo, Coahuila.

 Estos son los problemas de teoría de números del segundo examen selectivo para la preselección Tamaulipas OMM 2011. 

Problema 1. Demostrar que $p^2-1$ es divisible entre 24 si $p$ es un primo mayor que 3.

Problema 2. Encontrar todas las ternas de núumeros enteros $(a, b, c)$ que cumplen
\begin{eqnarray}
ab + bc &= 44\\
ac + bc &= 23
\end{eqnarray}

Problema 3. De los números positivos que pueden ser expresados como suma de 2005 enteros consecutivos, no necesariamente positivos ¿cuál ocupa la posición 2005?

Problema 4. Demostrar que si $n$ es múltiplo de 3, entonces $2^n-1$ es divisible entre 7.

 En este post voy a presentar la cuestión de que si el alumno no cumple los pre-requisitos para estar en un cierto nivel escolar, entonces la educación se convierte en una farsa. Porque, siendo realistas, el profesor no tomará medidas remediales para sus alumnos más débiles. En primer lugar porque el tiempo del aula es un recurso escaso. En segundo lugar porque interpretará los excesivamente laxos filtros de entrada  de la administración escolar como un insulto a su profesión. (Un primer pre-requisito es ¿sabe leer? --¿es esto mucho pedir?).