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Ejercicio trigonométrico
Sea ABC un triángulo equilátero y Γ su círculo inscrito. Si D y E son puntos de los lados AB y AC, respectivamente, tales que DE es tangente a Γ, demuestre que ADDB+AEEC=1
Una forma complicada de definir una función elemental
Sea N∗={1,2,3,…}. Halle todas las funciones f:N∗↦N∗ tales que:
- i) si x<y, entonces f(x)<f(y)
- ii) f(yf(x))=x2f(xy), para todos los x,y∈N∗.
¿Cómo se encierra un n-polígono en un paralelogramo?
Muestre que, para cualquier polígono convexo de área uno, existe un paralelogramo de área 2 que lo contiene.
Primos que son diferencia de capicúas consecutivos
Un número natural es capicúa si al escribirlo en notación decimal se puede leer de igual forma de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. Ejemplos: 8, 23432, 6446. Sean x1<x2<…<xi<xi+1<... todos los números capicúas. Para cada i sea yi=xi+1−xi. ¿Cuántos números primos distintos tiene el conjunto {y1,y2,y3…}?
¿Cómo era el generalizado de senos?
A partir del triángulo T de vértices A,B,C, se construye el hexágono H de vértices A1,A2,B1,B2,C1,C2 como se muestra en la figura. Demostrar que
Construcción de un trapecio inscrito
Se dan la circunferencia Γ y los números positivos h,m de modo que existe un trapecio ABCD, inscrito en Γ, de altura h y tal que la suma de sus bases AB y CD es m. Construir el trapecio ABCD.
Dos sucesiones recursivas
Sean (an) y (bn) dos sucesiones de números enteros que verifican las siguientes condiciones:
- i) a0=0,b0=8
- ii) an+2=2an+1−an+2,bn+2=2bn+1−bn
- iii) a2n+b2n es un cuadrado perfecto para todo n.
Determinar al menos dos valores del par (a1992,b1992).
¿Sabes geometría analítica? (alternativa: Stewart)
En un triángulo equilátero ABC, cuyo lado tiene longitud 2, se inscribe la circunferencia Γ.
- a) Demostrar que para todo punto P de Γ, la suma de los cuadrados de sus distancias a los vértices A,B y C es 5.
- b) Demostrar que para todo punto P de Γ, es posible construir un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos AP,BP y CP, y cuya área es √3/4
Suma de las raíces de un polinomio
Sean dados la colección de n números reales positivos a1<a2<a3<…<an, y la funciónf(x)=a1x+a1+a2x+a2+…+anx+an Determinar la suma de las longitudes de los intervalos, disjuntos dos a dos, formados por todos los valores de x tales que f(x)>1.
Suma de una sucesión
Para cada entero positivo n, sea an el último dígito del número 1+2+3+...+n. Calcular a1+a2+a3+…+a1992.
