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En un polígono de $ n $ lados, ($n \geq 4$) se considera una familia $T$ de triángulos, formados con los vértices del polígono, con la propiedad de que cada dos triángulos de la familia cumple alguna de las siguientes dos condiciones:
– No tienen dos vértices en común.
– Tienen dos vértices en común.
Demuestre que $T$ tiene a lo más $ n $ triángulos.
 

Considere un cuadrilátero convexo $ABCD$ en el que las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan formando ángulo recto. Sean $M, N, R$ y $S$ los puntos medios de los segmentos $AB, BC, CD$ y $AD$, respectivamente. Sean $W,X, Y$ y $Z$ las proyecciones de los puntos $M, N, R$ y $S$ sobre las rectas $DC, AD, AB$ y $BC$, respectivamente. Pruebe que todos los puntos $M, N,R, S, W, X, Y$ y $Z$ están sobre una misma circunferencia.

Una compañía de $ n $ soldados es tal que:

• $ n $ es un número capicúa (se lee igual al derecho y al revés, como 15651, 9436349).
• Si los soldados se forman:

--de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila;
--de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila;
--de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.

a) Hallar el menor $n$ que cumple las condiciones.

b)Demostrar que hay una infinidad de valores $ n $ que las satisfacen.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $C$. Sea $l$ cualquier recta que pase por $B$ y que corte al lado $AC$ en un punto $E$. Sean $F$ el punto medio de $EC$, $G$ el punto medio de $CB$ y $H$ el pie de la altura de $C$, respecto a $AB$, en el triángulo $ABC$. Si $I$ denota el circuncentro del triángulo $AEH$ (punto de intersección de las mediatrices de los lados), pruebe que los triángulos $IGF$ y $ABC$ son semejantes.