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Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos de números reales positivos tales que:

• Para cualquier par de elementos $u \geq v$ de $A$, se cumple que $u+v$ es elemento de $B$
• Para cualquier par de elementos $s > t$ de $B$, se cumple que $s-t$ es un elemento de $A$

Prueba que $A=B$ o existe un número real $r$ tal que $B=\{2r, 3r, 4r, \dots \}$

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo y sean $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ los puntos medios de $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ respectivamente. Se construyen los puntos $A_2, B_2, C_2, D_2, E_2, F_2$ en el interior de $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ tales que:

• El dodecágono $A_2A_1B_2B_1C_2C_1D_2D_1E_2E_1F_2F_1$ tiene sus 12 lados iguales
• $\angle A_1B_2B_1 + \angle C_1D_2D_1 + \angle E_1F_2F_1 = \angle B_1C_2C_1 + \angle D_1E_2E_1 + \angle F_1A_2A_1 = 360$°, donde todos los ángulos son menores a 180°

Demuestra que $Α_2B_2C_2D_2E_2F_2$ es cíclico. 

En la figura se, se muestran las 6 maneras distintas en que se puede colorear un cuadrado de $1 \times 1$ subdividido en 4 cuadritos de $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ con cuatro colores distintos (dos coloreados se consideran iguales si es posible rotar uno para obtener el otro). Cada uno de estos cuadrados de $1 \times 1$ se usará como pieza de un rompecabezas. Las piezas se pueden rotar, pero no reflejar. Dos piezas $encajan$ si al unirlas por un lado completo, los cuadritos de $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ a ambos lados del lado por el que se unen son del mismo color (ver ejemplos). ¿Es posible armar un rompecabezas de $3 \times 2$ utilizando cada pieza exactamente una vez y de forma que todas las piezas adyacentes encajen? 

Sea $n$ un entero positivo. Germán tiene una lista de $n$ números enteros. Si suma todos sus números, obtiene 6. Si los multiplica, también obtiene 6. Encuentra todos los posibles valores para $n$.