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P2 OMM 1997. Alineados con centroide... ¿Menelao?
En un triángulo ABC, sean P y P′ puntos sobre el segmento BC, Q en CA y R sobre AB, de forma que ARRB=BPPC=CQQA=CP′P′B
Sean G el centroide del triángulo ABC y K el punto de intersección de las rectas AP′ y RQ. Demuestre que los puntos P,G,K son colineales.
P1 OMM 1997. Primo función de un primo
Encuentre todos los números primos positivos p tales que 8p4−3003 también es un primo positivo.
P6 OMM 1996. Perpendiculares que miden el lado que cortan
En la figura se muestra un triángulo acutángulo ABC en el que la longitud de AB es menor que la de BC y la de BC es menor que la de AC . Los puntos A′,B′ y C′ son tales que AA′ es perpendicular a BC, y la longitud
de AA′ es igual a la de BC; BB′ es perpendicular a AC y la longitud de BB′ es igual a la de AC; CC′ es perpendicular a AB y la longitud de CC′ es igual a la de AB. Además el ángulo AC′B es de 90 grados. Demuestra que A′,B′ y C′ son colineales.
P5 OMM 1996. Recorre los cuadros y suma sus números
En una cuadrícula de n×n se escriben los números del 1 al n2 en el orden habitual (de izquierda a derecha y de arriba a abajo). Como ejemplo se ilustra el caso n=3: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Llamemos camino en la cuadrícula a una sucesión de pasos de un cuadro a otro desde el cuadro 1 hasta el n2, de tal manera que en cada paso el movimiento sea hacia la derecha o hacia abajo. Si C es un camino, denotamos por L(C) a la suma de los números por los que pasa el camino C.
P4 OMM 1996. Ocho distintos múltiplos de n
¿Para qué enteros n≥2 se pueden acomodar los números del 1 al 16 en los cuadros de una cuadrícula de 4×4 (un número en cada cuadro, sin repetir números) de tal manera que las 8 sumas de los números que quedan en cada fila y en cada columna sean múltiplos de n, y que estos 8 múltiplos sean todos distintos entre sí?
P3 OMM 1996. Cubrir cuadrícula con dominós con una condición
Demuestra que no es posible cubrir una cuadrícula de 6cm × 6 cm con 28 rectángulos de 2cm × 1cm, de tal manera que cada una de las rectas de longitud 6cm que forman la cuadrícula y que están en el interior de la misma pase por uno de los rectángulos. Demuestra también que sí es posible cubrir una cuadrícula de 6cm × 5cm con 15 rectángulos de 2cm × 1cm de tal manera que cada una de las rectas de 5cm o 6 cm que forman la cuadrícula y que están en el interior de la misma pase por el centro de por lo menos uno de los rectángulos.
P2 OMM 1996. La ficha 1 te prende el foco
Bordeando una mesa circular hay dibujadas 64 casillas y en cada una hay una ficha. Las fichas y las casillas están numeradas del 1 al 64 en orden consecutivo (cada ficha está en la casilla del mismo número). En la parte central de la mesa hay 1996 focos apagados. Cada minuto todas las fichas se desplazan simultáneamente, en forma circular (en el mismo sentido de la numeración), como sigue: la ficha #1 se desplaza una casilla, la ficha #2 se desplaza dos casillas, la ficha #3 se desplaza 3 casillas, etcétera, pudiendo varias casillas ocupar la misma posición.
P1 OMM 1996. Cuadrilátero con diagonal trisecada
Sea ABCD un cuadrilátero y sean P y Q los puntos de trisección de la diagonal BD (es decir, P y Q son puntos del segmento BD para los cuales las longitudes BP,PQ y QD son todas iguales). Sean E la intersección de la recta que pasa por A y P con el segmento BC, y F la intersección de la recta que pasa por A y Q con el segmento DC. Demuestra lo siguiente:
1. Si ABCD es un paralelogramo, entonces E y F son los respectivos puntos medios de los segmentos BC y CD.
2. Si E y F son los puntos medios de BC y CD, respectivamente, entonces ABCD es un paralelogramo.
P6 OMM 1995. Tres operaciones sobre los símbolos de una cuadrícula
Sobre los cuadrados de una cuadrícula de 4x4 se colocan símbolos 0 y1; estos símbolos se cambian uno por el otro de acuerdo a las siguientes tres operaciones:
La operación (a) cambia los símbolos de todos los elemntos de un renglón.
La operación (b) cambia de símbolos de todos los elementos de una columna.
La operación (c) cambia de símbolos de todos los elementos de una diagonal
(líneas punteadas en la figura).
P5 OMM 1995. Triángulos de igual área en pentágono
Sea ABCDE un pentágono convexo de manera que los triángulos ABC,BCD,CDE,DEA y EAB son todos de igual área. Demuestra que
14(ABCDE)<(ABC)<13(ABCDE).
(Donde el paréntesis denota el área del polígono dentro de él.)
